9. Kruhy Mysliteľa Syrakúz

Jeden z rímskych vojakov vtrhol práve do domu Archimeda a našiel ho pri tom, ako do piesku kreslí matematické diagramy. Archimedes, ktorý si v pohrúžení nevšimol ani prítomnosť vojaka, na to nakoniec doplatil. Riman mu zakázal kresliť a vtedy fyzik vyslovil slávnu vetu: „Noli tangere circulos meos!“, čo v preklade znamená: „Nedotýkaj sa mojich kruhov!.“ Vraj to boli posledné slová, ktoré vyriekol pred svojou smrťou (vojak ho prebodol mečom).¹ Pri tomto známom Archimedovom výroku „Nerušte moje kruhy“ išlo o kruhy nasledovné:

V trojuholníku \(ABC\), kde platí \(|AC| < |AB| < |BC|\), ležia na stranách \(AB\) a \(BC\) postupne body \(K\) a \(N\) tak, že platí \(|KA| = |AC| = |CN|\). Priamky \(AN\) a \(CK\) sa pretínajú v bode \(O\). Bod \(M\) leží na strane \(AC\) tak, že \(OM\) je kolmé na \(AC\). Dokážte, že kružnice vpísané trojuholníkom \(ABM\) a \(CBM\) sa dotýkajú.