Keďže máme dokazovať niečo o deliteľnosti, príde nám vhod pozrieť sa na zvyšky po delení $5$-timi. Skutočnosť, že dve čísla $a$, $b$ dávajú po delení $5$-timi rovnaký zvyšok, budeme zapisovať ako $a \equiv b \pmod{5}$. Na začiatok sa pozrieme na zvyšky mocnín čísel $2$ a $3$ po delení $5$-timi:

[my-label]

Zvyšky sa od štvrtej mocniny ($2^4$, $3^4$) začnú opakovať. Prečo je to tak? Vezmime si dve mocniny dvojky, ktoré nám dajú rovnaký zvyšok: $$2^0 \equiv 1 \pmod{5}, \quad 2^4 \equiv 1 \pmod{5}, \quad \text{teda} \quad 2^4=5k + 1.$$ Ak chceme zistiť zvyšok nasledujúcej mocniny, tak stačí zvyšok pôvodnej vynásobiť dvomi. Dostaneme: $$2^5 \equiv (5k+1)\cdot2 \equiv 2\cdot 5k+2 \equiv 2 \pmod{5}.$$ Člen $2\cdot 5k$ po delení $5$-timi zjavne dá nulu, preto zvyšok po delení $5$-timi bude $2$. Taktiež všeobecne, ak by sme chceli mocninu zvýšiť o $n$, násobili by sme výrazom $2^n$, no prvý člen by bol stále násobkom $5$-tich, teda dáva nulu (mod $5$). Preto stačí násobiť zvyšok, z toho ale máme $2^{4+n} \equiv 2^n \pmod{5}$, teda zvyšky sa musia pravidelne opakovať. Podobne to bude fungovať pre trojku a $3^n$.

Preto sa stačí pozrieť na prvé štyri riadky tabuľky, aby sme zistili aké sú možné kombinácie zvyškov po delení $5$-timi. Číslo $2^n+3^m$ je deliteľné piatimi, ak je súčet zvyškov $2^n$ a $3^m$ po delení $5$-timi deliteľný $5$-timi. Rozoberme si teraz všetky možnosti, ktoré môžu nastať:

• ak $2^n \equiv 1 \pmod{5}$, tak musí byť $3^m \equiv 4 \pmod{5}$,

• ak $2^n \equiv 2 \pmod{5}$, tak musí byť $3^m \equiv 3 \pmod{5}$,

• ak $2^n \equiv 3 \pmod{5}$, tak musí byť $3^m \equiv 2 \pmod{5}$,

• ak $2^n \equiv 4 \pmod{5}$, tak musí byť $3^m \equiv 1 \pmod{5}$.

Čo sa stane, ak vymeníme $n$ a $m$? V tabuľke sa môžeme presvedčiť, že nám to aj potom bude sedieť. Všade tam, kde trojka dáva zvyšok $3$, nám dvojka dá zvyšok $2$ a naopak, všetky mocniny, ktoré nám dajú z dvojky zvyšok $2$, dávajú z trojky zvyšok $3$. Máme teda súčet zvyškov $2+3=5$.

Podobne, ak máme zvyšok $2^n$ rovný štyrom, potom zvyšok $3^m$ musí byť $1$. No z tabuľky znova vidno, že ak vymeníme $n$ a $m$ tak iba meníme jednotky za štvorky a štvorky za jednotky, teda znovu dostaneme súčet $5$.

Ukázali sme, že ak je $2^n+3^m$ deliteľné piatimi, tak je aj $2^m+3^n$ deliteľné piatimi.