Nerovnosť je symetrická, preto môžeme predpokladať, že $a_1 \leq a_2 \leq … \leq a_n$. Potom platia nasledovné vzťahy:

$$-a_1 \geq -a_2 \geq \dots \geq -a_n,$$ $$s-a_1 \geq s-a_2 \geq \dots \geq s-a_n,$$ $$\frac{1}{s-a_1} \leq \frac{1}{s-a_2} \leq \dots \leq \frac{1}{s-a_n}.$$

Postupnosti $$a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_n \quad \text{aj} \quad \frac{1}{s-a_1},\, \frac{1}{s-a_2},\, \dots,\, \frac{1}{s-a_n}$$ sú obe rovnako zoradené. Teraz si budeme členy týchto postupností navzájom párovať. V rámci páru čísla vynásobíme a výsledky sčítame. Budeme to robiť pre rôzne párovania. Popárovaním najmenších členov spolu, druhých najmenších členov spolu až $n$-tých najmenších členov spolu získame ľavú stranu ($L$) nerovnosti zo zadania. Navyše podľa permutačnej nerovnosti[^1], je $$L=\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \dots + \frac{a_n}{s - a_n}$$ maximálny súčet spomedzi popárovaní daných postupností. Využime tento fakt na dokázanie nerovnosti zo zadania. Vytvorme si iné popárovania členov postupností $a_1$, $a_2$, $\dots , a_n$ a ${1}/{(s-a_1)}$, ${1}/{(s-a_2)}$, $\dots ,\, {1}/{(s-a_n)}$ (ich hodnota bude nanajvýš $L$) tak, aby sa po ich sčítaní odstránili menovatele zlomkov.

$$\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \dots + \frac{a_n}{s - a_n} \geq \frac{a_2}{s - a_1} + \frac{a_3}{s - a_2} + \dots + \frac{a_1}{s - a_n}$$ $$\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \dots + \frac{a_n}{s - a_n} \geq \frac{a_3}{s - a_1} + \frac{a_4}{s - a_2} + \dots + \frac{a_2}{s - a_n}$$ $$\vdots$$ $$\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \dots + \frac{a_n}{s - a_n} \geq \frac{a_n}{s - a_1} + \frac{a_1}{s - a_2} + \dots + \frac{a_{n-1}}{s - a_n}$$

Sčítaním týchto $n-1$ nerovností dostaneme $$\begin{aligned} (n-1)(\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \dots + \frac{a_n}{s - a_n}) &\geq \frac{a_2+a_3 + \dots + a_n}{s - a_1} + \frac{a_1+a_3 + \dots + a_n}{s - a_2} + \dots + \frac{a_1+a_2 + \dots + a_{n-1}}{s - a_n},\ (n-1)(\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \dots + \frac{a_n}{s - a_n}) &\geq \frac{s-a_1}{s - a_1} + \frac{s-a_2}{s - a_2} + \dots + \frac{s-a_n}{s - a_n} = n.\end{aligned}$$ Predelením $n-1$ (pre $n=1$ nerovnosť zo zadania nemá zmysel) dostaneme $$\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \dots + \frac{a_n}{s - a_n} \ge \frac{n}{n-1}, \qquad \text {čo bolo treba dokázať.}$$

1. http://files.dokazy.webnode.sk/200000004-9d3329e2ca/Permuta%c4%8dn%c3%a1%20nerovnos%c5%a5.pdf (Pozor! Časť obsahuje chybný zápis), https://en.wikipedia.org/wiki/Rearrangement_inequality↩