Najprv sa ospravedlníme, za nepresnosť zadania. Bod $$M$$ mal byť bod vnútri menšieho z uhlov, ktoré zvierajú polpriamky $$k$$ a $$s$$. Ak by tam nebol, tak veľmi jednoduchými úvahami by sme dospeli k tomu, že v tom prípade sa body $$K$$ a $$S$$ s požadovanou vlastnosťou nedajú nájsť.

Poďme sa pozrieť teraz na ten zaujímavý prípad. Označme si ešte prienik polpriamok $$k$$ a $$s$$ ako $$F$$. Chceme, aby body $$K$$, $$M$$ a $$S$$, ležali na jednej priamke a aby $$|KM|=|MS|$$. Pozrime sa na trojuholník $$FKS$$. Bod $$M$$ je stred úsečky $$KS$$. Toto je kľúčová informácia, skúsme sa nad ňou zamyslieť. Čo vieme o strede strany v trojuholníku? Poznáme nejaké úsečky, ktoré ním prechádzajú? Čo sú zač úsečky v tomto trojuholníku, ktoré sú jedna rovnobežná so stranou $$FK$$, druhá so stranou $$FS$$ a taktiež prechádzajú cez bod $$M$$? Sú to stredné priečky trojuholníka $$FKS$$. Ich zostrojením nájdeme stredy strán $$FK$$ a $$FS$$. Nazvime ich postupne $$X$$ a $$Y$$. Potom už len zostrojíme kružnice $$x$$ (so stredom v bode $$X$$ a polomerom $$|FX|$$) a $$y$$ (so stredom v bode $$Y$$ a polomerom $$|FY|$$). Tam, kde majú tieto kružnice prienik s polpriamkami $$k$$ a $$s$$ (a nie je to bod $$F$$), sa nachádzajú body $$K$$ a $$S$$.

Ako skonštruovať rovnobežku s polpriamkou $$k$$ cez bod $$M$$? Spravíme najprv kružnicu so stredom v bode $$M$$, ktorá sa s polpriamkou $$k$$ pretne v dvoch bodoch, ktoré označíme $$A$$ a $$B$$. Tieto body sú od bodu $$M$$ rovnako vzdialené, pretože sú na kružnici so stredom v bode $$M$$. Nájdeme ešte jeden bod, ktorý je od bodov $$A$$ a $$B$$ rovnako vzdialený. Stačí, keď spravíme kružnicu so stredom v bode $$A$$ a kružnicu so stredom v bode $$B$$, obe s rovnakým polomerom dostatočne veľkým na to, aby sa preťali. Body, v ktorých sa pretnú, sú, prirodzene, taktiež rovnako vzdialené od bodov $$A$$ a $$B$$. Teraz stačí keď ich spojíme a máme kolmicu. Zopakovaním tohto postupu dostaneme hľadanú rovnobežku. Rovnobežku s polpriamkou $$s$$ narysujeme podobne.

**

Iné riešenie

Vieme, že uhlopriečky rovnobežníka sa rozpoľujú. Skúsme teda nájsť body $$K$$ a $$S$$ tak, aby boli protiľahlé vrcholy tohto rovnobežníka. Keďže bod $$K$$ má byť na polpriamke $$k$$ a bod $$S$$ na polpriamke $$s$$, tak čo keby tieto polpriamky aj určovali dve strany tohto rovnobežníka. Potom by bod $$F$$ mohol byť ďalším vrcholom rovnobežníka. Nájdime aj posledný vrchol rovnobežníka. Stačí, keď spravíme polpriamku z bodu $$F$$, prechádzajúcu cez bod $$M$$. Následne nájdeme bod $$P$$ na tejto polpriamke, ktorý je od bodu $$M$$ rovnako vzdialený ako bod $$F$$. Potom už len zostrojíme rovnobežky s polpriamkami $$k$$ a $$s$$, ktoré prechádzajú bodom $$P$$. Body $$K$$ a $$S$$ sú prienikom týchto rovnobežiek s polpriamkami $$k$$ a $$s$$. Máme teda rovnobežník $$KPSF$$, v ktorom sa uhlopriečky pretínajú v bode $$M$$.