V prvom rade je dôležité uvedomiť si, čo chceme spočítať. Máme prvočíslo $p$, zoberieme si všetky čísla $k$ menšie ako $p$, spočítame počty deliteľov (označíme si ich ako vyhovujúce alebo $d$) čísel $kp+1$, ktoré sú medzi $k$ a $p$ (teda $k<d<p$). - Pre výraz $1p+1$ chceme zistiť, koľkými z deliteľov ${2,3,4,\dots,p-1}$ je deliteľný. - Pre výraz $2p+1$ chceme zistiť, koľkými z deliteľov ${3,4,5,\dots,p-1}$ je deliteľný. - Pre výraz $3p+1$ chceme zistiť, koľkými z deliteľov ${4,5,6,\dots,p-1}$ je deliteľný. $\dots$ - Pre výraz $(p-2)p+1$ chceme zistiť, koľkými z deliteľov ${p-1}$ je deliteľný,

Zapíšme si to do tabuľky (delitele a výrazy, ktoré nás zaujímajú):

Ak sa na to pozrieme z iného uhla (po stĺpcoch), stačí spočítať, či výraz $p+1$ je deliteľný $2$-mi, koľko z výrazov ${p+1, 2p+1}$ je deliteľných $3$-mi, koľko z výrazov ${p+1, 2p+1,3p+1}$ je deliteľných $4$-mi, … , koľko z ${p+1,2p+1,\dots,(p-2)p+1}$ delí $p-1$.

Chceme teda zistiť, koľkokrát $x$ delí výrazy ${p+1,2p+1,\dots,(x-1)p+1}$ (pre $x=2,\,3,\,4,\,\dots,\,p-1$). Ak si to vyskúšame pre nejaké konkrétne $x$ a $p$, zistíme, že $x$ delí práve jeden z daných výrazov. Ako to dokázať? Skúsme sa pozrieť na zvyšky výrazov po delení $x$. Zaujíma nás zvyšok $0$. Môžeme si všimnúť, že zvyšky výrazov $p+1,\, 2p+1,\, \dots ,\,(x-1)p+1$ sú všetky rôzne. Ak sa nám to podarí dokázať, tak budeme mať $x-1$ rôznych zvyškov z $x$ možných. Potom stačiť ukázať, že ten jeden zvyšok, čo tam chýba nie je $0$. To ale platí, lebo chýba zvyšok $0p+1=1$ (čo zrejme nie je deliteľné žiadnym deliteľom).

Nech majú výrazy $ap+1$ a $bp+1$ $(0<a,\,b<x)$ rovnaký zvyšok po delení $x$. Potom $x$ delí $(ap+1)-(bp+1)=p(a-b).$ Keďže $p$ je prvočíslo väčšie ako $x$, tak $x$ musí deliť $a-b$, teda $a$ aj $b$ majú rovnaký zvyšok po delení $x$. Preto čísla $a$ aj $b$ musia byť rovnaké.

Ľubovoľný deliteľ $x$ $(1<x<p)$ delí práve jeden výraz $kp+1$, preto bude zarátaný práve raz. Súčet čísel na papieri bude preto $p-2$.