8. Kružnice Marián Sleduje
Zadanie
Marián sa rozhodol, že sa začne venovať geometrii. Čarodejník Š mu poradil, že podstatou každej geometrickej úlohy je nájsť 4 body, čo ležia na jednej kružnici. Skúste to s ním aj vy!
Majme rovnobežník $ABCD$. Nech $H$ je priesečník výšok trojuholníka $ABC$. Rovnobežka so stranou $AB$ cez bod $H$ pretína priamky $AD$ a $BC$ postupne v bodoch $Q$ a $P$. Rovnobežka so stranou $BC$ cez bod $H$ pretína priamky $AB$ a $CD$ postupne v bodoch $R$ a $S$. Dokážte, že body $P$, $Q$, $R$, $S$ ležia na jednej kružnici.
To, že body $$P,\ Q,\ R,\ S$$ ležia na jednej kružnici dokážeme pomocou mocnosti bodu $$H$$[^1]. Potrebujeme dokázať vzťah $$|PH|\cdot|QH|=|RH|\cdot|SH|$$. Poďme na to.
Označme si postupne päty výšok v trojuholníku $$ABC$$ z bodov $$A,\ C$$ ako $$X,\ Y$$. Vieme, že body $$A,\ C,\ X,\ Y$$ ležia na jednej kružnici – na Talesovej kružnici nad priemerom $$AC$$. Z mocnosti bodu $$H$$ k tejto kružnici dostávame, že platí $$|AH|\cdot|XH|=|CH|\cdot|YH|$$. Potrebujeme teraz len nejakým spôsobom prejsť od tejto rovnosti k dokazovanej rovnosti.
To spravíme jednoducho. Všimnime si trojuholníky $$PXH,\ QAH,\ RYH,\ SCH$$. Všetky sú pravouhlé, vďaka tomu, že $$ABCD$$ je rovnobežník a $$AX$$ a $$CY$$ sú výšky v trojuholníku $$ABC$$. Navyše vďaka rovnobežnostiam $$AB\parallel PQ\parallel CD$$ a $$BC\parallel RS\parallel AD$$ platí, že uhol pri vrcholoch $$P,\ Q,\ R,\ S$$ v týchto trojuholníkoch je vždy uhol, ktorý zvierajú priamky $$AB$$ a $$AC$$. Preto sú všetky tieto trojuholníky podobné.
**
Z podobnosti týchto štyroch trojuholníkov máme, že platí: $$\frac{|PH|}{|XH|}=\frac{|QH|}{|AH|}=\frac{|RH|}{|YH|}=\frac{|SH|}{|CH|}.$$
Z tohto a rovnosti $$|AH|\cdot|XH|=|CH|\cdot|YH|$$ zrejme vyplýva dokazovaná rovnosť $$|PH|\cdot|QH|=|RH|\cdot|SH|$$. Preto body $$P,\ Q,\ R,\ S$$ ležia na jednej kružnici.
Na záver geometrickej úlohy sa hodí urobiť diskusiu o možnej polohe bodov. Riešenie je písané tým štýlom, že ak trojuholníky $$PXH,\ QAH,\ RYH,\ SCH$$ existujú, tak sa nemá čo pokaziť. Je jedno, či je $$ABC$$ tupouhlý a či $$H$$ leží vnútri alebo nie, všetky argumenty platia rovnako. Jediný problém môže nastať ak spomínané trojuholníky neexistujú, a to nastane keď niektoré body splynú do jedného. To sa stane, ak je trojuholník $$ABC$$ pravouhlý. Nech je však pravouhlý pri hociktorom vrchole, tak si ľahko rozmyslíme, že v tom prípade dva z bodov $$P,\ Q,\ R,\ S$$ splynú do jedného a dokázať, že 3 body ležia na jednej kružnici je už triviálne, lebo neležia na jednej priamke. Tým sme prebrali naozaj všetko a úloha je dokázaná.
- Pokiaľ si sa s mocnosťou bodu ku kružnici, ešte nestretol, môžeš si o nej prečítať v Zbierke KMS od strany 37.↩
