Majme čísla, ktoré vyhovujú zadaniu. Nech $I$ je taká množina indexov, pre ktorú platí $\ell_i \geq p_i$, a nech $J$ je množina zvyšných indexov. Na začiatok si trochu upravme rovnosť v tretej podmienke zo zadania do zaujímavejšieho tvaru $$\sum_{i \in I} \ell_i - p_i = \sum_{j \in J} p_j - \ell_j,$$ čiže naľavo sčítavame cez všetky dvojice, kde platí $\ell_i \geq p_i$, napravo cez zvyšné dvojice. Hľadané maximum bude následne súčet oboch strán rovnosti $$S = \sum_{i \in I} \ell_i - p_i + \sum_{j \in J} p_j - \ell_j = \sum_{i=1}^{31}|\ell_i-p_i|.$$

Tento výraz chceme odhadnúť zhora. Všimnime si, že sumy majú rovnakú hodnotu, takže $S$ sa nezmení keď ich rôzne naváhujeme a vhodne celý výraz predelíme. Nech $k$ je veľkosť množiny $I$. Naváhujme to nasledovne $$\frac{31}{2}S = (31-k)\sum_{i \in I} (\ell_i - p_i) + k \sum_{j \in J} (p_j - \ell_j).$$

Keď si predstavíme vynásobenie $k$ ako sčítanie každého člena sumy $k$-krát, tak obe sumy majú rovnaký počet členov a vieme to zapísať ako jednu sumu nasledovne $$\frac{31}{2}S = \sum_{i \in I}\sum_{j \in J} (\ell_i - p_i + p_j - \ell_j).$$

No a poďme konečne odhadovať! Pre $i>j$ máme $p_i > p_j$ a platí $$\begin{aligned} \ell_i &\leq 4247 - (31 - i), \ - p_i + p_j &\leq -i + j, \ - \ell_j &\leq -j,\end{aligned}$$ analogicky pre $i<j$ máme $\ell_i < \ell_j$ a odhady budú rovnaké, len vymeníme $\ell$ a $p$, preto $$\frac{31}{2}S = \sum_{i \in I}\sum_{j \in J} (\ell_i - p_i + p_j - \ell_j) \leq \sum_{i \in I}\sum_{j \in J} ([4247 - (31 - i)] + (j - i) - j) = \sum_{i \in I}\sum_{j \in J} 4216 = 4216k(31-k),$$ $$S \leq 272k(31-k).$$

Už len nájsť maximum kvadratickej funkcie. Vyjde $k=31/2$ a teda nás zaujíma $k=15,16$. Vtedy $S = 65\,280$.

Pre $i \leq 16$: $l_i = i$, pre $j>16$: $l_j = 4247-(31-j)$ a pre $p_k=2040+k$ sa maximum naozaj nadobúda a tieto čisla zároveň vyhovujú zadaniu, teda maximálna hodnota je $65\,280$.