Skúsme sa na začiatok úlohy odraziť od toho, čo vieme. Zo zadania platí: $|\sphericalangle APD| = |\sphericalangle BQC|$. Vieme tiež ľahko odvodiť, že $|\sphericalangle DPC| = |\sphericalangle DQC|$, keďže ide o susedné uhly s uhlami zo zadania.

Keď sa pozrieme na trojuholníky $DPC$ a $DQC$, zistíme, že majú rovnakú základňu $DC$ a aj rovnakú veľkosť uhla oproti základni, teda pri vrcholoch $P$ a $Q$. Mali by sme spozornieť a uvedomiť si, čo nám to napovedá. Konkrétne to, že bodom $P$, $Q$, $C$, $D$ vieme opísať kružnicu a tieto dva uhly sú jej obvodovými uhlami (prislúchajúce základni $DC$).

Štvoruholníku $PQCD$ sme vedeli opísať kružnicu a teda je tetivový. Nezabudnime, že pre tetivový štvoruholník platí, že súčet jeho protiľahlých uhlov je $180^\circ$. Keďže základne lichobežníka $AB$ a $DC$ sú rovnobežné, vieme, že vďaka striedavosti uhlov platí $|\sphericalangle BAC| = |\sphericalangle ACD|$. Rovnako platí $|\sphericalangle ABD| = |\sphericalangle BDC|$.

Z toho, že štvoruholník $PQCD$ je tetivový vieme, že $|\sphericalangle PQD| = |\sphericalangle ACD|$.

Teraz ukážeme, že aj štvoruholník $ABQP$ je tetivový. Chceli by sme, aby platilo $|\sphericalangle CAB| + |\sphericalangle BQP| = 180^\circ$. $|\sphericalangle BQP|$ môžeme vyjadriť pomocou jeho susedného uhla $PQD$ ako $180^\circ - |\sphericalangle PQD|$. Veľkosť $|\sphericalangle PQD|$ a $|\sphericalangle ACD|$ je rovnaká, tiež vďaka striedavým uhlom, vieme že $|\sphericalangle PAB| = |\sphericalangle ACD|$ a teda $|\sphericalangle BQP| = 180^\circ - |\sphericalangle PAB|$. Dokázali sme, že protiľahlé uhly v štvoruholníku $ABQP$ majú súčet $180^\circ$, čiže ide o tetivový štvoruholník. Z toho vyplýva, že vieme bodom $A$, $B$, $P$, $Q$ opísať kružnicu.

****

Trojuholníky $ABP$ a $ABQ$ majú rovnakú základňu $AB$ a rovnakú veľkosť uhlov pri vrcholoch P a Q, keďže ide o obvodové uhly. Keďže majú rovnakú veľkosť, tak majú rovnakú veľkosť aj ich susedné uhly $BPC$ a $AQD$, čo bolo treba dokázať.