Môžeme si všimnúť, že v úlohe vystupuje dosť stredov: $S$, $W$, $A$, $G$ sú postupne stredy úsečiek $P_2P_1$, $P_1Q_1$, $Q_1Q_2$, $Q_2P_2$. Preto nám prídu vhod stredné priečky. V trojuholníku $P_1P_2Q_1$ máme strednú priečku $SW$, a preto je rovnobežná s úsečkou $P_2Q_1$. Podobne, z trojuholníka $Q_2P_2Q_1$ dostaneme, že stredná priečka $AG$ je rovnobežná so stranou $P_2Q_1$. Máme teda tri rovnobežky: $SW$, $AG$ a $P_2Q_1$. Podobným spôsobom dostaneme tiež rovnobežky $WA$, $GS$, $P_1Q_2$. Z toho vyplýva, že $SWAG$ je rovnobežník. Aby sme ukázali, že to je obdĺžnik, stačí nám ukázať, že priamky $P_2Q_1$ a $P_1Q_2$ sú na seba kolmé.

****

V zadaní máme veľa rovnakých dĺžok. Dobre sa s nimi pracuje, keď sú pokope. Zvoľme teda bod $B$ tak, aby $STAB$ bol rovnobežník. Ďalej, obraz bodu $T$ v osovej súmernosti podľa osi strany $SA$ označme $C$. Zjavne bod $C$ leží na kružnici opísanej tetivovému štvoruholníku $STAN$. Dostali sme tak pekne pri sebe rovnaké dĺžky $|SP_1| = |SP_2| = |SB| = |SC|$ a $|AQ_1| = |AQ_2| = |AB| = |AC|$. Inými slovami, body $P_1$, $P_2$, $B$, $C$ ležia na kružnici $k$ so stredom v $S$ a body $Q_1$, $Q_2$, $B$, $C$ na kružnici $l$ so stredom v $A$. Tieto kružnice sú tálesovými nad priemermi $P_1P_2$ a $Q_1Q_2$.

Poďme zistiť veľkosť uhla $P_2BQ_2$. Označme si $|\sphericalangle NSC| = 2\alpha$. Z tetivového štvoruholníka $SCAN$ máme $|\sphericalangle CAN| = 180^\circ - 2\alpha$. Zas zo susedných uhlov máme $|\sphericalangle P_2SC| = 180^\circ - 2\alpha$ a $|\sphericalangle CAQ_2| = 2\alpha$. S využitím stredového a obvodového uhla v kružniciach $k$ a $l$ dostaneme $|\sphericalangle P_2BC| = |\sphericalangle P_2SC|/2 = 90^\circ - \alpha$ a $|\sphericalangle Q_2BC| = \alpha$. Dostávame tak, že $|\sphericalangle P_2BQ_2| = |\sphericalangle P_2BC| + |\sphericalangle Q_2BC| = 90^\circ$. Body $P_1$ a $Q_2$ ležia na kolmici na úsečku $P_2B$ v bode $B$, preto body $P_1$, $Q_2$ a $B$ ležia na jednej priamke. Podobne na jednej priamke ležia aj body $P_2$, $Q_1$, $B$. Ako sme ukázali, tieto priamky zvierajú pravý uhol, čo dokazuje, že $SWAG$ je obdĺžnik.

Ešte si na záver rozmyslime, že naše riešenie funguje pre každú konfiguráciu. Body, ktoré využívame totiž ležia vždy v správnej polohe.

****

Komentár

Ukázať, že priamky $P_1Q_2$ a $P_2Q_1$ sú na seba kolmé bolo možné mnoho ďalšími spôsobmi, s využitím iných uhlov. Pri niektorých si stačilo dokresliť len jeden z bodov $B$, $C$. Avšak pri mnohých spôsoboch si bolo treba dať pozor na konfigurácie bodov. Napr. rovnosť $|\sphericalangle P_2BQ_2| = |\sphericalangle P_2BS| + |\sphericalangle SBA| + |\sphericalangle ABQ_2|$ neplatí pri každej konfigurácii bodov. Niekedy sa v nej zmenia niektoré znamienka plus na mínus.

Ukážeme ešte jedno riešenie, ktoré využíva špirálovú podobnosť a jej vlastnosti. Môžete si o nej prečítať od strany 22 v seriáli PraSe Geometrická zobrazení.

Iné riešenie

Uvažujme špirálovú podobnosť so stredom v bode $C$, ktorá zobrazuje úsečku $Q_2Q_1$ na $P_1P_2$. Vieme, že jej stred $C$ leží na druhom priesečníku kružníc opísaných trojuholníkom $NP_1Q_2$ a $NP_2Q_1$. Táto špirálová podobnosť zobrazuje aj bod $A$ (stred $Q_2Q_1$) na bod $S$ (stred $P_1P_2$). Preto jej stred $C$ leží aj na kružnici opísanej trojuholníku $SAN$. Z koeficientov tejto špirálovej podobnosti dostaneme $|CA| : |CS| = |Q_2A| : |P_1S| = |AC| : |SC| = |ST| : |AT|$. Keď to spojíme s rovnosťou obvodových uhlov $|\sphericalangle SCA| = |\sphericalangle STA|$, tak dostaneme, že trojuholníky $SCA$ a $ATS$ sú podobné. Keďže majú spoločnú stranu $AS$, tak sú aj zhodné. Z toho dostávame, že $C$ je totožný s bodom $C$ z predchádzajúceho riešenie, teda leží na oboch tálesových kružniciach nad priemermi $P_1P_2$ a $Q_1Q_2$.

Keďže špirálová podobnosť chodí po dvoch, $C$ je aj stred špirálovej podobnosti, ktorá zobrazuje úsečku $P_1Q_2$ na $P_2Q_1$. Jej uhol otočenia je $|\sphericalangle P_1CP_2| = 90^\circ$. Preto sú úsečku $P_1Q_2$ a $P_2Q_1$ tiež na seba kolmé.