Označme si $V=10^{10^{10^n}}+10^{10^n}+10^n-1$. Ak chceme ukázať, že $V$ nie je prvočíslo, tak ako jednoduché spôsoby sa nám priamo núkajú rozloženie na súčin a nájdenie deliteľa.

Nájsť deliteľa znamená pre dané $n$ nájsť $d$ také, aby $10^{10^{10^n}} + 10^{10^n} + 10^n - 1 \equiv 0 \pmod{d}$.[^1] Skúsme ho nájsť tak, aby čísla $10^{10^{10^n}}, 10^{10^n}, 10^n$ mali pekné zvyšky po delení $d$. Ako vhodní kandidáti sa naskytujú $d_1=10^k, d_2=10^k+1, d_3=10^k-1$. Zrejme pri deliteľovi $d_1$ bude mať $V \pmod{d_1}$ jednotku na mieste jednotiek, teda nevyhovuje.

Pozrime sa na $d=d_2$. Po troche skúšania môžeme prísť na to, že vieme docieliť, aby zvyšky členov $V$ boli $\pm1$. Takto možno zistiť, že pre $n=2^ab$ (kde $b$ je nepárne) je $d=10^{2^a}+1$ je deliteľ $V$. Inak napísané $-1 \equiv 10^{2^a} \pmod{d}$. Pozrime sa na zvyšky členov $V$ po delení $d$.

• $-1 \equiv -1 \pmod{d}$.

• $10^n = 10^{2^ab} = (10^{2^a})^b \equiv (-1)^b \equiv -1 \pmod{d}$.

• $10^{10^n}= 10^{2^a5^a(10^{n-a})}= (10^{2^a})^{5^a10^{n-a}} \equiv (-1)^{5^n10^{n-a}} = 1 \pmod{d}, $ keďže $5^n10^{n-a}$ je párne (rozmyslite si).

• $10^{10^{10^n}} = 10^{2^a5^a(10^{10^n-a})} = (10^{2^a})^{5^a10^{10^n-a}} \equiv (-1)^{5^a10^{10^n-a}} = 1,$ keďže $5^a10^{10^n-a}$ je párne (rozmyslite si).

Teda $10^{10^{10^n}}+10^{10^n}+10^n-1 \equiv 1+1-1-1 =0 \pmod{d}$, našli sme teda deliteľa $d_2$ výrazu $V$. Keďže $1<10^{2^a}+1<V$, $V$ nie je prvočíslo. Týmto je dôkaz hotový.

1. Pokiaľ ste sa s takýmto zápisom ešte nestretli, pozrite si kapitolu 4.6 Kongruencie v Zbieke KMS.↩