Chceme dokázať, že štyri body $A$, $B$, $C$, $Y$ ležia na jednej kružnici. To sa dá robiť rôznymi spôsobmi, jeden z najčastejšie používaných spôsobov je pomocou obvodových uhlov.[^1] Stačí nám teda dokázať rovnosť obvodových uhlov $BAC$ a $BYC$. Ukazujeme rovnosť pretože $A$ a $Y$ sú určite v rovnakej polrovnie vymedzenej priamkou $BC$, inak by sme ukazovali, že ich súčet je $180^\circ$. O uhle $BYC$ na prvý pohľad nevieme veľa povedať, preto si ho rozdelíme na uhly $BYX$ a $XYC$ a pokúsime sa zistiť veľkosti oboch týchto uhlov.

Ďalej môžeme uvažovať nasledovne. Keďže priamky $PX$ a $AQ$ sú rovnobežné, trojuholníky $PBX$ a $ABC$ sú podobné podľa vety $uu$, lebo majú spoločný uhol pri vrchole $B$ a uhly $BPX$ a $BAC$ sú súhlasné. Trojuholník $ABC$ je rovnoramenný, takže aj trojuholník $PBX$ je rovnoramenný, čiže $|PB|=|PX|$.

V osovej súmernosti podľa priamky $PQ$ sa úsečka $PX$ zobrazila na úsečku $PY$, takže $|PX|=|PY|$. Zistili sme, že všetky tri body $B$, $X$, $Y$ ležia rovnako ďaleko od bodu $P$, $|PB|=|PX|=|PY|$, takže ležia na jednej kružnici $l$ so stredom $P$ a polomerom $r=|PB|$.

Teraz už vieme určiť veľkosť uhla $BYX$. Uvažujme tetivu $BX$ na kružnici $l$. Uhol $BYX$ je obvodový a uhol $BPX$ je stredový, takže platí $| \sphericalangle BYX |=\frac{1}{2}| \sphericalangle BPX|=\frac{1}{2}| \sphericalangle BAC|$.

Zo symetrie situácie vzhľadom na výmenu bodov $B$ a $C$ vyplýva, že aj $| \sphericalangle XYC|=\frac{1}{2}| \sphericalangle BAC|$. (Ak vám to nie je celkom jasné, môžete si to skúsiť dokázať úplne rovnako ako sme dokázali, že $| \sphericalangle BYX|=\frac{1}{2}| \sphericalangle BAC|$, s tým že body $B$, $P$ vymeníte za body $C$, $Q$ a naopak.)

Ešte spravme posledné miniuhlenie: $$| \sphericalangle BYC|=| \sphericalangle BYX|+| \sphericalangle XYC|=\frac{1}{2}| \sphericalangle BAC|+\frac{1}{2}| \sphericalangle BAC|=| \sphericalangle BAC|.$$

Vidíme, že uhly $BAC$ a $BYC$ majú naozaj rovnakú veľkosť, teda sú obvodové nad tetivou $BC$, čiže bod $Y$ leží na kružnici opísanej trojuholníku $ABC$.

Hlavné myšlienky tohto riešenia sú zobrazené na nasledujúcom obrázku. Zvýraznené úsečky majú rovnakú dĺžku a dvojprúžkový uhol je dvakrát väčší ako jednoprúžkový. Kružnice opísané trojuholníkom ABC a BXY som zámerne nenakreslil aby bol obrázok viac prehľadný. Lepšie je si ich len predstaviť.

**

1. O obvodovom a stredovom uhle sa môžete viac dozvedieť v tomto článku \URL{https://old.kms.sk/~mazo/matematika/pocitanieUhlov.pdf}, hlavne v 2. príklade.↩