Opravovatelia

Lukáš [email protected]

Marek [email protected]

Označme $|\sphericalangle BAE|$ ako $\alpha$ a $|\sphericalangle BAO_1|$ ako $\beta$. Keďže $O_1$ je stred kružnice opísanej trojuholníku $ABE$, tak $|AO_1|=|BO_1|$, preto trojuholník $ABO_1$ je rovnoramenný a $|\sphericalangle ABO_1|=|\sphericalangle BAO_1|=\beta$. Podobne aj $|AO_1|=|EO_1|$, čiže $AO_1E$ je rovnoramenný, a teda $|\sphericalangle AEO_1|=|\sphericalangle EAO_1|=|\sphericalangle EAB|+|\sphericalangle BAO_1|=\alpha+\beta$. Keďže $BD$ je uhlopriečka štvorca, tak $|\sphericalangle ABD|=45^\circ$. Potom ale z toho, že $|BO_1|=|EO_1|$ (opäť z kružnice opísanej $ABE$) máme, že trojuholník $BEO_1$ je rovnoramenný, z čoho $|\sphericalangle BEO_1|=|\sphericalangle EBO_1|=|\sphericalangle EBA|+|\sphericalangle ABO_1|=45^\circ+\beta$.

Pozrime sa ďalej na súčet uhlov v trojuholníku $ABE$. Platí $180^\circ=|\sphericalangle ABE|+|\sphericalangle BEA|+|\sphericalangle EAB|=45^\circ+(45^\circ+\alpha+2\beta)+\alpha=90^\circ+2(\alpha+\beta)$. Potom ale $2(\alpha+\beta)=90^\circ$, a preto $\alpha+\beta=45^\circ$. Všimnime si, že trojuholník $AEO_1$ je rovnoramenný s uhlami $45^\circ$ pri základni, a teda oproti nej má uhol $|\sphericalangle AO_1E|=180^\circ-2\cdot45^\circ=90^\circ$.

Teraz postupujme podobne pre druhú stranu: Označme si $|\sphericalangle DAO_2|$ ako $\gamma$ a $|\sphericalangle EAO_2|$ ako $\delta$. Potom z rovnoramenného $DAO_2$ vieme, že $|\sphericalangle O_2DA|=|\sphericalangle DAO_2|=\gamma$. Vieme, že $|\sphericalangle EDA|=45^\circ$ z vlastností uhlopriečok štvorca. Teda $|\sphericalangle EDO_2|=|\sphericalangle EDA|-|\sphericalangle O_2DA|=45^\circ-\gamma$. Z rovnoramennosti trojuholníka $EDO_2$ vieme, že $|\sphericalangle EDO_2|=|\sphericalangle O_2ED|=45^\circ-\gamma$. Nakoniec sa pozrieme na rovnoramenný trojuholník $AEO_2$. Vieme, že $|\sphericalangle O_2AE|=\delta$, a z toho aj $|\sphericalangle AEO_2|=|\sphericalangle O_2AE|=\delta$.

Už poznáme všetky uhly na to, aby sme zistili čo potrebujeme. Zo súčtu uhlov v trojuholníku $AED$ vidíme, že $180^\circ=2\gamma+2\cdot(45^\circ-\gamma)+2\delta=90^\circ+2\delta$, z čoho vidíme, že $\delta=45^\circ$, a $|\sphericalangle AEO_2|=|\sphericalangle O_2AE|=\delta=45^\circ$. Opäť si všimnime, že trojuholník $AEO_2$ je rovnoramenný s uhlami $45^\circ$ pri základni, a teda oproti nej má uhol veľkosti $|\sphericalangle EO_2A|=180^\circ-2\cdot45^\circ=90^\circ$.

Práve sme celkom pracne pre konkrétny uhol $45^\circ$ dokázali, že veľkosť uhla, ktorý zviera tetiva so stredom, je dvojnásobkom uhla, ktorý zviera s ľubovoľným bodom na „správnej“ strane kružnice. Toto je v geometrických úlohách pomerne často používaná vlastnosť nazývaná aj veta o obvodovom a stredovom uhle. Ak ste o nej ešte nepočuli, odporúčame si niečo o tom prečítať (napríklad v Zbierke úloh KMS¹, Kapitola 2, sekcia 1) a potom sa zamyslieť, ako veľmi by to zjednodušilo toto riešenie.

Teda sme zistili, že trojuholníky $O_1EA$ a $O_2AE$ sú pravouhlé a rovnoramenné. Ďalej, pre veľkosti uhlov $\sphericalangle EAO_1$, $\sphericalangle O_1EA$, $\sphericalangle AEO_2$ a $\sphericalangle O_2AE$ platí $|\sphericalangle EAO_1|=|\sphericalangle O_1EA|=|\sphericalangle AEO_2|=|\sphericalangle O_2AE|=45^\circ$, z čoho dostávame $|\sphericalangle AO_1E|=|\sphericalangle O_1EO_2|=|\sphericalangle EO_2A|=|\sphericalangle O_2AO_1|=90^\circ$. Teda útvar $AO_1EO_2$ je obdĺžnik. No keďže z rovnoramennosti napr. trojuholníka $AO_1E$ sú dve susedné strany útvaru $AO_1EO_2$ rovnakej veľkosti, jedná sa o štvorec.

Zamyslime sa ešte, čo by sa stalo, keby situácia vyzerala inak ako na našom nákrese. Všimnime si, že uhly v trojuholníku $ADE$ a uhly v trojuholníku $ABE$ sme spočítali „nezávisle“. To znamená, že $45^\circ$ a $90^\circ$ uhly nám vyjdú na správnych miestach aj vtedy, keď je stred kružnice opísanej mimo štvorca, aj vtedy, keď je stred kružnice opísanej v štvorci. A čo keby bol ten stred na hrane štvorca? Jednoducho by sme mali $\beta=0^\circ$ (resp. $\gamma=0^\circ$) a celý dôkaz by prebehol tiež.

****