Opravovatelia

Mišo M. [email protected]

Ako prvé si všimnime, že jednotlivé čísla si vieme napísať ako $A = 2083 + 100X,\, B = 1906 + 10Y,\, C = 2906 + 10X,\, D = 1054 + 100Y$. Takýto zápis nám zjednoduší prácu s $X$ a $Y$. Čísla, ktoré majú byť násobkami $9$ sú teraz v tvaroch $$\begin{align} A + B &= 3989 + 100X + 10Y,\ C - D &= 1852 + 10X - 100Y.\end{align}$$

Ako máme teda zvoliť $X$ a $Y$, aby sme dostali násobky $9$? Keď sa pozrieme na zvyšky po delení, zistíme, že $A+B$ dáva zvyšok $2 + 100X + 10Y$, kým $C-D$ dáva $7 + 10X - 100Y$. Ďalšie zjednodušenie príde, keď si všimneme, že $100X = 99X + X$, takže $100X$ má zvyšok $X$ po delení $9$. Podobne zistíme aj, že $10Y$ má zvyšok $Y$ ($10Y = 9Y + Y$), $10X$ má zvyšok $X$ a $100Y$ má zvyšok $Y$. Tým dostaneme podmienku zo zadaniu upravenú do ekvivalentného tvaru, že $2 + X + Y$ a $7 + X - Y$ sú násobky $9$.

Teraz vieme využiť, že $X$ a $Y$ sú cifry. V takom prípade je $2+X+Y$ najmenej $2$ a najviac $20$, z čoho iba $9$ a $18$ sú násobky $9$. Takže $X + Y = 7$ alebo $X + Y = 16$. Výraz $7+X-Y$ je najmenej $-2$ a najviac $16$, pričom násobky $9$ sú len $0$ a $9$. Teda navyše musí platiť, že $X-Y=-7$ alebo $X-Y=2$.

Ďalej máme dve možnosti, ako postupovať. V prvej vypočítame jednotlivé sústavy rovníc. Vieme, že buď $X = Y-7$ alebo $X = Y+2$. Keď dosadíme prvú možnosť do rovníc pre $X+Y$ dostaneme $Y-7+Y = 7$, odkiaľ poľahky dopočítame $Y = 7$, takže $X = 7-7 = 0$. Z druhej rovnice pre $X+Y$ by sme dostali $Y-7+Y=16$, odkiaľ nám vyjde $Y = 11{,}5$, čo nie je celé číslo. Naopak dosadením $X = Y+2$ nám vyjde v prípade $X+Y=7$, že $Y = 2{,}5$, čo nevyhovuje, v prípade $X+Y=16$ dostaneme $Y = 7$ a teda $X = 9$.

Druhá možnosť postupu je všimnúť si, že ak sú čísla $2+X+Y$ a $7+X-Y$ násobky $9$, tak je aj ich súčet násobkom $9$. To znamená, že vyhovovať budú len tie $X$ a $Y$, pre ktoré je $$(2+X+Y) + (7+X-Y) = 9 + 2X$$ násobkom $9$. Odtiaľ už ľahko vidíme, že $X = 0$ alebo $X = 9$. Z rovníc potom vypočítame už len $Y = 7 - X$ alebo $Y = 16 - X$. Pre $X = 0$ dostaneme buď $Y = 7$ alebo $Y = 16$, pre $X = 9$ dostaneme $Y = -2$ alebo $Y = 7$. V oboch prípadoch je cifra len $7$, takže to bude náš $Y$. Mali by sme ešte overiť, že spĺňame rovnice pre rozdiel. Ľahko vidíme, že $0 - 7 = -7$ a $9 - 7 = 2$.

Odpoveď: Správne dvojice $(X, Y)$ sú $(0, 7)$ a $(9, 7)$.