Opravovatelia

Džavo [email protected]

Naťa [email protected]

Časť $1$

Pri dokazovaní nerovností je vždy potrebné vhodne odhadnúť zdola či zhora jej aktérov. Zoberme si preto $k$-ciferné číslo $n=\overline{c_{k}\dots c_2c_1}$. Jeho ciferný súčin je potom rovný $a(n)=c_{k}c_{k-1}\cdots c_2c_1$. Keďže $c_1, c_2, \dots c_{k}$ sú cifry, tak vieme o nich, že sú nanajvýš rovné $9$. Teda vieme zhora odhadnúť $a(n)\leq 9^k$. Nám sa avšak zíde trochu lepší odhad ciferného súčinu a to $a(n)\leq 9^{k-1}c_{k}$, lebo si vieme povšimnúť, že platí $n\geq 10^{k-1}c_{k}$ (zaokrúhlili sme číslo $n$, aby malo až na jednu cifru všetky ostatné $0$), čím sme $n$ odhadli zdola. Takýto odhad sa nám zíde, keďže triviálne platí pre kladné celé čísla $k$, že $10^{k-1} c_{k}\geq 9^{k-1} c_{k}$. Ak dáme všetky spomenuté odhady dokopy, dostávame $$n\geq 10^{k-1}c_{k}\geq 9^{k-1}c_{k}\geq a(n),$$ čo je presne to, čo sme chceli dokázať.

Časť $2$

Keďže ciferný súčin čísla nám veľa o hodnote samotného čísla nepovie (napr. $a(10003)<a(5)$) tak sa nám ponúka využiť odhad z časti $1$, ktorý nám dá nerovnosť $$n^2-17n+56=a(n)\leq n.$$ Túto nerovnosť si vieme ľahko nasledovne upraviť na súčinový tvar $n^2-18n+56=(n-4)(n-14)\leq 0,$ z ktorého vidíme, že ju spĺňajú čísla z intervalu $\langle 4, 14 \rangle$. Keďže riešime nad kladnými celými číslami, stačí nám už len overiť, ktoré z kladných celých riešení nerovnosti je riešením aj pôvodnej rovnice. Urýchliť toto skúšanie nám pomôžu pozorovania, že pre jednociferné čísla od $4$ po $9$ je $a(n)=n$, čím získame rovnicu $n^2-17n+56=n$, ktorej vyhovujú práve $4$ a $14$, pričom práve $4$ je jednociferné vo vyšetrovanom intervale. Pre skúmané dvojciferné čísla od $10$ po $14$ platí $a(n)=n-10$ (ciferný súčin sa rovná cifre na mieste jednotiek, lebo cifra na mieste desiatok je 1), čo nám dá rovnicu $n^2-17n+56=n-10$, ktorá avšak nemá celočíselné riešenie. Jediným riešením je $n=4$.