Opravovatelia

Džavo [email protected]

Naťa [email protected]

Časť $1$

Pri dokazovaní nerovností je vždy potrebné vhodne odhadnúť zdola či zhora jej aktérov. Zoberme si preto $k$-ciferné číslo $n=\overline{c_{k}\dots c_2c_1}$. Jeho ciferný súčin je potom rovný $a(n)=c_{k}c_{k-1}\cdots c_2c_1$. Keďže $c_1, c_2, \dots c_{k}$ sú cifry, tak vieme o nich, že sú nanajvýš rovné $9$. Teda vieme zhora odhadnúť $a(n)\leq 9^k$. Nám sa avšak zíde trochu lepší odhad ciferného súčinu a to $a(n)\leq 9^{k-1}c_{k}$, lebo si vieme povšimnúť, že platí $n\geq 10^{k-1}c_{k}$ (zaokrúhlili sme číslo $n$, aby malo až na jednu cifru všetky ostatné $0$), čím sme $n$ odhadli zdola. Takýto odhad sa nám zíde, keďže triviálne platí pre kladné celé čísla $k$, že $10^{k-1} c_{k}\geq 9^{k-1} c_{k}$. Ak dáme všetky spomenuté odhady dokopy, dostávame $$n\geq 10^{k-1}c_{k}\geq 9^{k-1}c_{k}\geq a(n),$$ čo je presne to, čo sme chceli dokázať.

Časť $2$

Keďže ciferný súčin čísla nám veľa o hodnote samotného čísla nepovie (napr. $a(10003)