Opravovatelia

Baška [email protected]

Konštantínova úspešnosť argumentov je v každom momente vždy v tvare $\frac{a}{b}$, kde $a$ je celé nezáporné číslo, vyjadrujúce počet úspešných argumentov a $b$ je celé kladné číslo, vyjadrujúce počet všetkých argumentov. Teda Konštantínova úspešnosť argumentov je vždy racionálna, čiže všetky iracionálne $p$ sú nevyhovujúce.

Teraz sa pozrime na $p$ v tvare $\frac{k}{l}$, kde $k$, $l$ sú kladné celé nesúdeliteľné čísla. Keďže použitím niekoľkých argumentov sa Konštantín z úspešnosti menšej ako $p$ dostal na hodnotu väčšiu ako $p$, vieme, že existuje aspoň jeden argument (zjavne úspešný), pred ktorým bola Konštantínova úspešnosť menšia alebo rovná $p$ a po jeho použití bola jeho úspešnosť väčšia alebo rovná ako $p$. Môžeme to teda zapísať ako $$\frac{a}{b} \leq \frac{k}{l} \leq \frac{a+1}{b+1}.$$

Ak sa pozrieme na jednotlivé nerovnosti samostatne, dostávame $$\begin{align} \frac{a}{b} & \leq \frac{k}{l}, & \frac{k}{l} & \leq \frac{a+1}{b+1}, \ al & \leq bk, & (b+1)k & \leq (a+1)l,\ al-ak & \leq bk-ak, & (b+1)k-(a+1)k & \leq (a+1)l-(a+1)k,\ a(l-k) & \leq (b-a)k, & (b-a)k & \leq (a+1)(l-k).\end{align}$$

Keď naše dve výsledné nerovnosti spojíme dohromady, dostávame $$a(l-k) \leq (b-a)k \leq (a+1)(l-k).$$

Tu si môžeme všimnúť, že ak by $l-k=1$, tak $a \cdot 1$ a $(a+1) \cdot 1$ sú dve po sebe idúce čísla. V jednej z nerovností musí teda nastávať rovnosť, keďže $(b-a)k$ je celé kladné, a teda sa nevie „zmestiť“ medzi dve po sebe idúce celé kladné čísla. Spätne to znamená, že Konštantínova pravdepodobnosť sa buď pred alebo po použití skúmaného argumentu presne rovnala $p$.

Teraz sa pozrime na prípad $l-k \neq 1$. V tomto prípade existuje $l-k-1$ kladných celých čísel medzi číslami $a(l-k)$ a $(a+1)(l-k)$, teda určite platí nerovnosť $$a(l-k)<a(l-k)+1<(a+1)(l-k).$$

Ak by platilo, že existujú nejaké $a$, $b$, pre ktoré by platila rovnosť $a(l-k)+1=(b-a)k$, tak potom existuje taká počiatočná úspešnosť argumentov, ktorá nikdy nenadobudne hodnotu $p$. Skúsme si teda túto rovnosť upraviť. $$\begin{align} a(l-k)+1&=(b-a)k,\ al-ak+1&=bk-ak,\ bk-al&=1.\end{align}$$

Keďže $k$ a $l$ sú nesúdeliteľné, z Bézoutovej rovnosti vyplýva, že existujú také celé čísla $a_{0}$ a $b_{0}$, ktoré spĺňajú danú rovnosť. Avšak $a_{0}$, $b_{0}$ nám nemusia vyjsť kladné. Ak si však $a$, $b$ postupne nahradíme $a_{0}+nk$, $b_{0}+nl$ a $n$ zvolíme dostatočne veľké, tak aby $a_{0}+nk$ aj $b_{0}+nl$ boli kladné, dostávame rovnosť $$(b_{0}+nl)k-(a_{0}+nk)l=b_{0}k+nlk-a_{0}l-nlk=b_{0}k-a_{0}l=1,$$ teda aj $a_{0}+nk$ a $b_{0}+nl$ spĺňajú rovnosť. Preto pre nejaké kladné celé $a$, $b$ platí aj pôvodná rovnosť, keďže sme robili len ekvivalentné úpravy.

Teda Konštantínova úspešnosť argumentov musela niekedy nadobudnúť hodnotu $p$ práve vtedy, keď $p=\frac{k}{k+1}$.