„Nemusím ti snáď pripomínať, kto ťa dostal na trón,“ povedal Veľký Dif Ka. „Kombistan pripadne Matematickej analýze tak, ako som to naplánoval.“
„Na trón som sa dostal predovšetkým ja,“ odvetil In Te. „Hornera som mohol upratať aj sám, len som si nechcel špiniť ruky.“
„To na pôvodnej dohode nič nemení, len si si spravil svoju prácu, tak v tom láskavo pokračuj.“
„Kombistan pripadne Al-Gebre a bodka. Vládnuť tam budem ja a bodka,“ vyhlásil In Te a opustil sieň.
Veľký Dif Ka poznal ľudí, ktorí robia problémy, a vedel, že ich treba nahradiť niekým poslušnejším. Inak by jeho vplyv nesiahal ani po hranice Matematickej ľudovo-demokratickej analýzy. Rozhodol sa, že to In Temu spočíta.
Každé z čísel $x_1, x_2, \ldots, x_n$ sa rovná $0$, $1$ alebo $-2$. Veľký Dif Ka vie, že platí $$\begin{align} x_1+x_2+ \cdots+ x_n&=-5,\ x_1^2+ x_2^2+ \cdots+ x_n^2&=19. \end{align}$$ Určte všetky možné hodnoty súčtu $$x_1^5+ x_2^5+ \cdots+ x_n^5.$$
Opravovatelia
Kaja [email protected]
Na začiatok si môžeme všimnúť, že vo všetkých troch súčtoch máme všetky z čísel $x_1, x_2, \dots, x_n$, rozdiel je iba v tom, ako sú umocnené tieto členy.
Keď chceme porovnať prvé dva súčty, tak sa môžeme zamyslieť nad tým, ako sa zmení hodnota jednotlivých členov. Ak by nejaký člen $x_i$ mal hodnotu $0$ alebo $1$, tak potom by aj $x_i^2$ malo rovnakú hodnotu. Jediný rozdiel v týchto dvoch súčtoch robia teda iba také členy $x_i$, ktoré majú hodnotu $-2$.
Ak má teda nejaký člen $x_i$ hodnotu $-2$, tak v druhom súčte bude hodnota $x_i^2 = 4$. Každý člen $x_i$, ktorý má hodnotu $-2$ teda zvýši hodnotu druhého súčtu oproti prvému o $4-(-2)=6$, a to je jediný spôsob, ako sa dá zmeniť hodnota druhého súčtu oproti prvému.
Keďže vieme, že hodnota prvého súčtu je $-5$ a hodnota druhého súčtu je $19$, tak vieme, že ich rozdiel je $19-(-5)=24$. Z toho teda vieme určiť, že v prvom súčte musia byť presne $24/6=4$ členy $x_i$, ktoré budú mať hodnotu $-2$ a zvyšné musia mať hodnoty $0$ alebo $1$.
Keď sa teraz pozrieme ešte na posledný súčet, ktorého hodnotu potrebujeme zistiť, tak znova platí, že ak má nejaký člen $x_i$ hodnotu $0$ alebo $1$, tak aj člen posledného súčtu $x_i^5$ bude mať rovnakú hodnotu. Teda znovu jediné, v čom sa líšia tieto súčty, sú také členy $x_i$, ktoré majú hodnotu $-2$. Vieme už ale, že také sú presne $4$.
Ak má $x_i$ hodnotu $-2$, tak potom $x_i^5 = -32$. Za každý takýto člen vzniká rozdiel medzi prvým a posledným súčtom rovný $-32-(-2)=-30$. Keďže sú $4$, tak celkový rozdiel bude rovný $-30\cdot 4=-120$.
Hodnota posledného súčtu preto teda musí byť $-5-120 = -125$.
Korešpondenčný matematický seminár zastrešuje občianske združenie Trojsten.
Trojsten, o.z.
FMFI UK, Mlynská dolina
842 48 Bratislava
Intenzívny matematický zážitok v lete
Tímová matematická súťaž pre stredoškolákov
Knižnica všemožných matematických múdrostí