10. Krásny Matematický Svet
Zadanie
O pár mesiacov na to bol opäť grafik Peter Senov na návšteve u svojho dobrého priateľa Feuera Sebastiana Bacha. Bach práve niečo maľoval pred domom, zvnútra bolo cítiť dobré jedlo a počuť radostné výkriky detí. Priatelia sa pozdravili a Peter si hneď všimol, že Feuer Sebastian je v dobrej nálade.
„Vieš, od toho súdu s tým kráľom Al-Gebry, tým In Tentom, či ako sa volal…Veľa sa toho zmenilo k lepšiemu. Kombistan si všimol naše útrapy a spolu s Teóriou Čísel apelovali u nového kráľa za zlepšenie našich podmienok. A on ich vypočul! Musím povedať, že kráľ Kartezián sa mi páči viac ako tí predchádzajúci. Umožnil návrat Pyty Gorovej, zrušil otročenie na nekonečných poliach, a tak sa môžem opäť venovať umeniu. Pozri, na čom teraz robím…“
Základom veľdiela Feuera Sebastiana Bacha bol rôznostranný trojuholník $ABC$. Označme $b$ os uhla $ABC$ a $c$ os uhla $ACB$. Priamka $b$ pretína stranu $AC$ v bode $B_1$ a kružnicu opísanú trojuholníku v bode $B_2 \neq B$. Analogicky priamka $c$ pretína stranu $AB$ v bode $C_1$ a opísanú kružnicu v bode $C_2 \neq C$. Označme $I$ priesečník priamok $b, c$ a bod $J$ zas priesečník priamky $B_1C_1$ s priamkou $B_2C_2$. Dokážte, že body $I$ a $J$ sú navzájom rôzne a priamka nimi prechádzajúca je rovnobežná s priamkou $BC$.
A tak bol v matematike opäť raz mier a poriadok.
Opravovatelia
Šošo [email protected]
Môžeme si všimnúť, že na opísanej kružnici máme celkom dosť ($5$) bodov. Zároveň sa veľa priamok z týchto bodov pretína v známych bodoch, teda vyzerá to tak, že sa bude dať použiť Pascalova veta. A keď to ešte z obrázku vyzerá, že $JA$ sa dotýka kružnice opísanej, tak tušíme, že treba použiť Pascala na bodoch $A$, $A$, $B$, $B_2$, $C_2$, $C$. Z toho dostávame, že priesečníky $AA$ (teda dotyčnice ku kružnici opísanej v $A$) $\cap$ $B_2C_2$, $AB \cap C_2C = C_1$, $BB_2\cap CA = B_1$ ležia na priamke. Inak povedané, $B_1C_1$, $B_2C_2$ a dotyčnica z $A$ sa pretínajú v jednom bode. To je podľa zadania bod $J$. Teda $JA$ sa dotýka kružnice opísanej.
****
Bod $J$ leží preto mimo kružnice opísanej, teda aj mimo trojuholníka $ABC$. Bod $I$ je stredom vpísanej kružnice trojuholníku, teda zrejme leží vnútri trojuholníka. Preto $I \neq J$.
Body $B_2$, $C_2$ sú postupne Švrčkove body k $B$ a $C$ (stredy oblúkov $AC$ a $AB$). Podľa vety o tzv. Incenter-Excenter Circle1 teda $\lvert B_2I \rvert = \lvert B_2A \rvert$, $\lvert C_2I \rvert = \lvert C_2A \rvert$. Bod $J$ preto leží na osi $AI$, teda $\lvert JA \rvert = \lvert JI \rvert$.
Nech $S$ je Švrčkov bod prislúchajúci k $A$ v $ABC$. Označme $J’$ priesečník dotyčnice ku kružnici opísanej v $S$ a priamky $AJ$. Potom $J’S$ je rovnobežné s $BC$, keďže $S$ je stred oblúka $BC$. Zároveň $\lvert J’A \rvert = \lvert J’S \rvert$, keďže obe úsečky sú dotyčnicami ku kružnici opísanej. Trojuholníky $AJI$, $AJ’S$ sú teda oba rovnoramenné s rovnakým uhlom pri vrchole $A$ (keďže $S$ leží na osi uhla $BAC$). Sú teda podobné. Z toho dostávame rovnobežnosť $JI$ s $J’S$, a teda aj s $BC$, čo bolo treba dokázať.
