Opravovatelia

Brian [email protected]

Oski [email protected]

Úloha od nás žiada, aby sme našli také riešenia $n^2=p^2+pq+q^2$, že $n \in \mathbb{N}$ a $p, q$ sú prvočísla (a teda tiež $\in \mathbb{N}$).

Najprv si zadanú rovnicu upravíme. $$\begin{align} n^2&=p^2+pq+q^2,\ n^2+pq&=p^2+2pq+q^2,\ n^2+pq&=(p+q)^2,\ pq&=(p+q)^2-n^2,\ pq&=(p+q-n)(p+q+n). \end{align}$$

Ďalej využijeme, že rovnicu počítame nad $\mathbb{N}$. To znamená, že $p$, $q$, $(p+q-n)$ a $(p+q+n)$ sú všetko celé čísla. Navyše $p$ aj $q$ sú kladné (pretože to sú prvočísla) a $(p+q+n)$ je tiež kladné. Ľavá strana rovnice je preto kladná a pravá musí byť tiež, čiže $(p+q-n)$ je tiež kladné.

Z toho nutne vyplýva, že $(p+q-n)$ a $(p+q+n)$ sú delitele $pq$. Nakoľko sú ale $p$, $q$ prvočísla, tak $(p+q-n), (p+q+n) \in {1, p, q, pq}$. Zrejme ale $(p+q+n) > p, (p+q+n) > q, (p+q+n) > 1$ (keďže stále pracujeme nad $\mathbb{N}$), teda nutne $$p+q+n = pq.$$

A aby bola splnená rovnosť, tak $$p+q-n = 1.$$

Je viacero možností, ako túto sústavu rovníc vyriešiť. My si tieto rovnice sčítame a dostaneme $$2p+2q = pq+1.$$

Znova je viacero spôsobov, ako postupovať. Upravíme rovnicu na $$\begin{align} 2p+2q-pq-1 &= 0,\ p(2-q)+2q-1 &= 0,\ p(2-q)+2q-4 &= -3,\ p(2-q)+(-2)(2-q) &= -3,\ (p-2)(2-q) &= -3,\ (p-2)(q-2) &= 3. \end{align}$$

Znova, keďže $p$ a $q$ sú prvočísla, tak $p-2$ a $q-2$ sú nezáporné celé čísla, a zrejme nebudú rovné $0$. Musia to byť teda delitele $3$, čiže $(p-2), (q-2) \in {1, 3}$.

Bez ujmy na všeobecnosti $p-2=1$, $q-2=3$. Potom $p=3$, $q=5$ a $n^2=3^2+3\cdot5+5^2=49$. Povedali sme bez ujmy na všeobecnosti, pretože ak by sme vybrali $p-2$ a $q-2$ opačne, dostaneme sa k rovnakej rovnici.

Dostávame $n=\pm7$, ale keďže $n\in \mathbb{N}$, dostávame jediný výsledok, a to $n=7$.