Opravovatelia

Mati [email protected]

Začnime tým, že si zadanie prepíšeme do série rovností $$\begin{align} x+yz&=2,\ y+zx&=2,\ z+xy&=2. \end{align}$$ Odrátaním druhej rovnice od prvej a úpravou dostávame $$\begin{align} x-y+yz-zx&=0,\nonumber\ x-y-z(x-y)&=0,\nonumber\ (1-z)(x-y)&=0.\tag{1}\end{align}$$ Veľmi podobne dostaneme odčítaním zvyšných dvojíc rovníc vzťahy $$\begin{align} (1-x)(y-z)&=0,\tag{2}\ (1-y)(z-x)&=0.\tag{3}\end{align}$$ Teraz stačí už iba preskúmať pár možností. Z rovnice (1) vidíme, že v akomkoľvek riešení $z=1$ alebo $x=y$.

Ak $z=1$, potom z (2) vidíme, že $x$ alebo $y$ je tiež $1$, bez ujmy na všeobecnosti nech to je $x$. Avšak zo zadania vieme, že $$y+zx=y+1\cdot1=2,$$ z čoho dostávame, že $y=1$. Takže ak $z=1$, tak sú už všetky čísla rovnaké, a to $1$. Vďaka symetrii problému však v skutočnosti platí, že ak ľubovoľné z daných čísel už je $1$, tak všetky sú $1$.

Uvážme ešte prípad, že žiadne z čísel nie je $1$, potom sa už nutne musia všetky rovnať. Dostávame preto $$\begin{align} x^2+x-2&=0,\ (x+2)(x-1)&=0.\end{align}$$ Existuje teda ešte jedna trojica riešení, a to, že všetky tri čísla sú $-2$.