Opravovatelia

Džavo [email protected]

Ak si nakreslíme všetky zadané úsečky do obrázka, nie je na prvý pohľad jasné, ako uchopiť priamky $AM$ a $CE$. Skúsme si preto najprv vyjadriť nejaké základné uhly. Označme si $\vert \sphericalangle{ACB}\vert=\alpha$. Následne, z toho že $AD\perp BC$ a $DE\perp AB$ máme, že $\vert \sphericalangle{EDA}\vert=\alpha$. Následne podľa vety uu sú si trojuholníky $AED$ a $ADC$ podobné.

Vieme, že bod $M$ je stred strany $ED$. Aby sme využili našu dokázanú podobnosť, označme si $N$ stred $DC$. Z podobností vieme, že ťažnica $AN$ v trojuholníku $ADC$ rozdelí uhol $\sphericalangle{DAC}$ rovnako ako ťažnica $AM$ v trojuholníku $EAD$ uhol $\sphericalangle{EAD}$. Teda $\vert \sphericalangle{EAM}\vert=\vert \sphericalangle{DAN}\vert$, čo znamená, že $$\vert\sphericalangle{MAN}\vert=\vert\sphericalangle{MAD}\vert+\vert\sphericalangle{DAN}\vert=\vert\sphericalangle{MAD}\vert+\vert\sphericalangle{EAM}\vert=\vert\sphericalangle{EAD}\vert=90^\circ-\alpha.$$ To je celkom zaujímavý vzťah vzhľadom na to, že $MN$ je stredná priečka v trojuholníku $EDC$ a je rovnobežná s $EC$, a teda nám stačí dokázať, že $AM\perp MN$.

Na to nám stačí dokázať, že $AMDN$ ležia na kružnici nad priemerom $AN$, lebo vieme, že $\vert\sphericalangle{ADN}\vert=90^\circ,$ z čoho by vyplývalo, že aj $\vert\sphericalangle{AMN}\vert=90^\circ$. To, že $ADMN$ ležia na kružnici dokážeme tak, že si všimneme, že $$\vert\sphericalangle{MDN}\vert=\vert\sphericalangle{ADN}\vert+\vert\sphericalangle{MDA}\vert=90^\circ+\alpha=180^\circ-\vert\sphericalangle{EAD}\vert=180^\circ-|\sphericalangle MAN|.$$

Štvoruholník $ADMN$ je naozaj tetivový, z čoho vyplýva, čo sme chceli.

****