Medzitým sa na bojisku ukázala prevaha a sila vojska Al-Gebry, a tak došlo k dobytiu Matematickej Ľudovo-demokratickej Analýzy aj bez pomoci Geometrov. In Te sa rozhodol nečakať na ovládač a rovno sa začal mstiť vodcom nepriateľa na čele s Veľkým Dif Kom. Popravy boli v plnom prúde, keď sa vrátil Kartezián a mohutným hlasom zvolal:
„Zatýkam Vás, kráľ In Te, v mene ľudu Al-Gebry, za zločiny proti matematike.“
In Teho tento zvrat zaskočil natoľko, že sa nebránil. To umožnilo udalostiam nabrať rýchly spád.
Každá z $n\geq 4$ udalostí mala priradené reálne číslo $u_1, u_2, \ldots, u_n$. Navyše boli nejaké reálne čísla navyše, a to $u_{n+1}$, ktoré bolo rovnaké ako $u_1$ a $u_{n+2}$, ktoré sa rovnalo $u_2$. Predpokladajme, že existuje spád, čo je reálne číslo $s>0$ také, že pre každé $i \in {1, 2, \ldots, n}$ platí $$u_i^2 = s + u_{i+1}u_{i+2}.$$ Dokážte, že aspoň $2$ z čísel $u_1, u_2, \dots, u_n$ priradených udalostiam sú záporné.
Opravovatelia
Jakub Poljovka [email protected]
Na úvod si potrebujeme uvedomiť, že podmienky $u_{n+1}=u_1$ a $u_{n+2}=u_2$ nám hovoria, že rovnosti uvedené v zadaní sú vlastne cyklické, a teda $u_{n-1} = s + u_nu_1$ a $u_n=s+u_1u_2$.
Predpokladajme najprv, že všetky udalosti $u_i$ sú nezáporné. Nech $u_k$ je najmenšia udalosť (alebo jedna z najmenších). Pre túto udalosť potom platí: $$u_k^2 = s + u_{k+1}u_{k+2} > u_{k+1}u_{k+2} \geq u_k^2.$$ Dostali sme tak spor $u_k^2>u_k^2.$ Teda zatiaľ vieme, že aspoň jedna udalosť $u_i$ musí byť záporná.
Predpokladajme, že práve jedna udalosť $u_i$ je záporná. Bez ujmy na všeobecnosti nech je to udalosť $u_1$.
Platí $u_2^2 = s+u_3u_4$, a kedže $u_3, u_4$ sú nezáporné, tak $u_2 \geq \sqrt{s}$.
Platí $u_1^2 = s + u_2u_3$, a teda $|u_1|\geq\sqrt{s}$. Keďže ale $u_1 < 0$, tak $u_1\leq-\sqrt{s}$.
Platí $u_n^2= s+u_1u_2.$ Keďže $u_1\leq -\sqrt{s}$ a $u_2 \geq \sqrt{s}$, potom $u_1u_2 \leq -s$, a teda $u_n^2 = s+u_1u_2 \leq s-s=0$. Z toho nutne vyplýva, že $u_n=0$. Táto rovnosť zároveň nastáva práve vtedy, keď $u_1=-\sqrt{s}$ a $u_2 = \sqrt{s}$.
Dosadením za $u_1$ a $u_2$ do rovnosti $u_1^2 = s + u_2u_3$, dostávame $s=s+u_3\sqrt{s}$, z čoho vyplýva $u_3=0$.
Ak $n>4$, tak dostávame $u_3^2 = s+u_4u_5\geq s$, a teda $u_3 \geq \sqrt s$. To je ale spor so zistením, že $u_3=0$.
Ak $n=4$, tak $u_4=u_n=0$ a dostávame $u_3^2 = s + u_4u_1 = s+0=s$, čo je opäť spor s podmienkou $u_3=0$.
Korešpondenčný matematický seminár zastrešuje občianske združenie Trojsten.
Trojsten, o.z.
FMFI UK, Mlynská dolina
842 48 Bratislava
Intenzívny matematický zážitok v lete
Tímová matematická súťaž pre stredoškolákov
Knižnica všemožných matematických múdrostí