Skúsme roznásobiť zátvorky vo všetkých troch rovniciach:

\[\begin{align*} x^2 + xy + xz - yz &= 6,\\ y^2 + yz + xy - xz &= -2,\\ z^2 + xz + yz - xy &= 6. \end{align*}\]

Všimneme si, ako pekne by sa vykratili niektoré členy, keď sčítame prvú rovnicu s druhou, prvú s treťou a druhú s treťou:

\[\begin{align} (x^2 + xy + xz - yz) + (y^2 + yz + xy - xz) &= 6 + (-2),\\ (x^2 + xy + xz - yz) + (z^2 + xz + yz - xy) &= 6 + 6,\\ (y^2 + yz + xy - xz) + (z^2 + xz + yz - xy) &= -2 + 6. \end{align}\] \[\begin{align} x^2 + xy + y^2 + xy &= 4,\\ x^2 + xz + z^2 + xz &= 12,\\ y^2 + yz + z^2 + yz &= 4. \end{align}\]

Všimneme si tiež, že toto sú vlastne súčty štvorcov: \[\begin{align} (x+y)^2 &= 4,\\ (x+z)^2 &= 12,\\ (y+z)^2 &= 4. \end{align}\] Po odmocňovaní nezabudneme na absolútne hodnoty: \[\begin{align} \left|x+y\right| &= 2,\\ \left|x+z\right| &= 2\sqrt{3},\\ \left|y+z\right| &= 2. \end{align}\] Teraz by sme mohli uvažovať 8 možnosti, jedno pre každú kombináciu znamienok. My sme ale leniví matematici, takže pokúsime sa vybaviť všetky prípady zároveň. Nech si označíme \(x+y=2\cdot a\), kde \(a\in \{+1,-1\}\) vyjadruje znamienko. Rovnako definujeme \(b\) a \(c\) pre druhú a tretiu rovnicu. Čiže: \[\begin{align} x+y &= 2a,\\ x+z &= 2\sqrt{3}b,\\ y+z &= 2c. \end{align}\] Teraz len vyriešime tento systém rovníc. Sčítame prvú a druhu rovnicu a odčítame tretiu: \[\begin{align} (x + y) + (x + z) - (y+z) &= 2a + 2\sqrt{3}b - 2c,\\ 2x &= 2a + 2\sqrt{3}b - 2c,\\ x &= a + \sqrt{3}b - c. \end{align}\] Rovnako si vieme nájsť \(y\) (sčítame prvú a tretiu rovnicu, a odčítame druhú), a \(z\) (sčítame druhú a tretiu rovnicu a odčítame prvú): \[\begin{align} (x + y) + (y + z) - (x+z) &= 2a + 2c - 2\sqrt{3}b,\\ 2y &= 2a + 2c - 2\sqrt{3}b,\\ y &= a + c - \sqrt{3}b. \end{align}\] \[\begin{align} (y + z) + (x + z) - (x + y) &= 2c + 2\sqrt{3}b -2a,\\ 2z &= 2c + 2\sqrt{3}b - 2a,\\ z &= c + \sqrt{3}b - a. \end{align}\]

Ľahko skontrolujeme, že \(x + y = 2a, x + z = \sqrt{3}b, y + z = 2c\), čiže sú to naozaj riešenia.

Takže všetky možné riešenia sú \((x,y,z) = (a + \sqrt{3}b - c, a + c - \sqrt{3}b, c + \sqrt{3}b - a)\) pre všetky možne kombinácie \(a,b,c\in \{+1, -1\}\).

Nižšie vypíšeme priamo všetky možnosti.