9. Káčka Množiny S

Označme \(D(n)\) súčin deliteľov čísla \(n\). Pre každé kladné celé číslo \(n\) vieme definovať postupnosť \(a_1(n),\, a_2(n), a_3(n),\, \dots\) nasledovne: \(a_1(n)=n\) a \(a_k(n)=D(a_{k-1}(n))\) pre všetky \(k\geq 2\). Dokážte, že pre každú podmnožinu \(S\subseteq \{1,2,\dots, 2018\}\) vieme nájsť také kladné celé číslo \(n\), aby platilo, že pre každé \(1\leq k\leq 2018\) je \(a_k(n)\) druhou mocninou celého čísla práve vtedy, keď \(k\in S\).