Poďme sa hrať s množinou $$\mathsf{M}$$. Preklápajme si ju podľa osí úsečiek. Vždy, keď ju preklopíme, tak dostaneme znovu $$\mathsf{M}$$. Teda $$\mathsf{M}$$ sa preklápaním cez osi vôbec nehýbe. O tom chceme povedať niečo viac. Čo nám vie niečo povedať o polohe bodov v rovine? Napríklad ich ťažisko.

Ťažisko je v tejto chvíli pre nás super bod, lebo sa pri preklápaní neposúva (ako celá množina $$\mathsf{M}$$). Čiže leží na každej osi úsečiek. Keďže ťažisko leží na každej osi úsečky dvojici bodov z $$\mathsf{M}$$, tak každá dvojica bodov z množiny $$\mathsf{M}$$ s ním tvorí rovnoramenný trojuholník. Teda všetky body z množiny $$\mathsf{M}$$ sú od neho rovnako vzdialené. Všetky teda ležia na kružnici so stredom v ťažisku.

Čo nám ešte treba ukázať na to, aby body množiny $$\mathsf{M}$$ tvorili vrcholy pravidelného $$n$$-uholníka? Že sú na kružnici pravidelne (t. j. že sú medzi nimi rovnaké vzdialenosti). Stačí ukázať, že od ľubovoľného vrcholu sú susedné vrcholy rovnako vzdialené. Poďme na to.

Nech $$A$$, $$B$$, $$C$$ sú po sebe idúce vrcholy na kružnici. Chceme ukázať, že $$|AB| = |BC|$$. Inak povedané, že vrchol $$B$$ leží na osi úsečky $$AC$$. Označme si $$B’$$ bod, čo vznikne z bodu $$B$$ preklopením cez os úsečky $$AC$$. (Ukážeme, že oba body $$B$$ a $$B’$$ ležia na kružnici medzi $$A$$ a $$C$$, a teda bod $$B’$$ je totožný s bodom $$B$$. Týmto bude dôkaz hotový.)

Os úsečky $$BB’$$ prechádza ťažiskom, teda $$B’$$ leží na kružnici. Keďže zároveň platí $$BB’ || AC$$ (obe sú kolmé na os úsečky $$AC$$), tak body $$B$$, $$B’$$ ležia na rovnakej strane úsečky $$AC$$. Keďže susedné vrcholy vrcholu $$B$$ sú $$A$$ a $$C$$, vrchol $$B’$$ musí byť totožný s vrcholom $$B$$, teda vrchol $$B$$ leží na osi $$AC$$.

Ukázali sme, že body množiny $$\mathsf{M}$$ ležia na kružnici a sú medzi nimi rovnaké vzdialenosti. Z toho vyplýva, že tvoria pravidelný $$n$$-uholník.