Našou úlohou je nájsť číslo $$k$$, pre ktoré platí nerovnosť zo zadania, budeme ju označovať ako $$(\star$$). Za $$k$$ si môžeme vyberať z čísel $$1,\, 2,\,\dots,\, n$$. Môžeme si všimnúť, že pri zmene $$k$$ sa výraz na ľavej strane nemení (je to vždy to isté číslo), zatiaľ čo na pravej strane sa výraz môže meniť. Ak nerovnosť $$(\star$$) platí pre nejaké $$k$$, tak určite platí aj pre také $$m$$, pre ktoré je súčet $$|a_1 + a_2 + \dots + a_m|$$ najväčší možný. Preto hľadanie $$k$$ vybavíme hneď na začiatku a budeme dokazovať nerovnosť $$(\star)$$ pre $$k = m$$. Ale ako na to?

Často použiteľný spôsob, ako sa dajú dokazovať nerovnosti, je postupné upravovanie jednej strany nerovnosti na ďalšie výrazy, medzi ktorými platí správna nerovnosť. Na ľavej strane máme v absolútnej hodnote súčet čísel. Pri takýchto prípadoch príde vhod nerovnosť $$|x + y| \le |x| + |y|$$ (pre reálne čísla $$x$$, $$y$$), ktorú možno ľahko dokázať a taktiež aj zovšeobecniť pre súčet $$n$$ čísel. Takto vieme dostať súčet výrazov $$|a_ib_i|$$, resp. $$|a_i|b_i$$ vďaka nezápornosti $$b_i$$. Avšak z takýchto výrazov ťažko získame späť súčet $$|a_1 + a_2 + \dots + a_m|$$.

Ďalším nedostatkom je, že zatiaľ nevyužívame voľbu $$k=m$$. Táto voľba nám dáva totiž veľa nerovností, ktoré môžeme využiť. Tieto nerovnosti sa týkajú súčtov $$|a_1 + a_2 + \dots + a_i|$$, aby sa nám s nimi ľahšie pracovalo, označíme si $$s_i = a_1 + a_2 + \dots + a_i$$ pre celé čísla $$1 \le i \le n$$. Tak budeme mať na pravej strane v absolútnej hodnote len jednu neznámu a k nej sa už dopracujeme ľahšie.

Teraz si však musíme premenné $$a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_n$$ vyjadriť pomocou $$s_1,\, s_2\, \dots,\, s_n$$. Zjavne $$a_1 = s_1$$, potom $$a_2 = s_2 - s_1$$ a všeobecne $$a_i = s_i - s_{i-1}$$ pre $$2 \le i \le n$$. Ľavú stranu si vieme teda zapísať ako

Teraz môžeme súčet v absolútnej hodnote odhadnúť súčtom absolútnych hodnôt, ako sme spomenuli vyššie.

Vďaka podmienke $$b_{i} \ge b_{i+1}$$ sú rozdiely $$b_{i} - b_{i+1}$$ nezáporné. Preto ich môžeme vybrať z absolútnych hodnôt, čím dostaneme $$|(b_1 - b_2)s_1| + \dots + |(b_{n-1} - b_n)s_{n-1}| + |b_ns_n| = (b_1 - b_2)|s_1| + \dots + (b_{n-1} - b_n)|s_{n-1}| + b_n|s_n|.$$

Je na čase využiť, že $$m$$ sme si zvolili tak, že hodnota $$|s_m|$$ je najväčšia spomedzi $$|s_i|$$, platí $$|s_i| \le |s_m|$$. Vďaka nezápornosti $$b_i - b_{i+1}$$ platí aj $$(b_i - b_{i+1})|s_i| \le (b_i - b_{i+1})|s_m|$$. Získavame tak ďalší vzťah

Nakoniec nám stačí využiť, že $$b_1 \le 1$$, a preto $$b_1|s_m| \le |s_m|$$. Spojením všetkých nerovností, prípadne rovností, cez ktoré sme prešli, dostávame $$|a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n| \le |s_m|,$$ čo sme mali ukázať.