Spôsobov ako sa dala riešiť táto úloha je viacero. Ukážeme riešenie nadväzujúce na nápovedu. Toto riešenie využíva vlastnosti chordál, o ktorých sa môžete dočítať aj v našej KMS zbierke. Spätne vysvetlené, chordála je množina bodov, ktoré majú rovnakú mocnosť k dvom kružniciam. Mocnosť bodu $$M$$ ku kružnici so stredom $$S$$ a polomerom $$r$$ je číslo $$|MS|^2-r^2$$ a toto číslo je zároveň dĺžka dotyčnice z bodu $$M$$ umocnená na druhú, čo sa dá ľahko overiť Pytagorovou vetou. Ňou vieme overiť aj to, že chordála je priamka. Na záver spomenieme, že vieme využiť aj kružnicu s nulovým polomerom, t. j. bod. Cez vzdialenosť od stredu vieme presne definovať mocnosť bodu k bodu a chordála bodu a kružnice (aj dvoch bodov) bude stále priamka. V tejto úlohe to bude obzvlášť užitočné.

Zoberme si body $$B$$, $$C$$ a kružnicu $$k$$, ktorá je vpísaná trojuholníku $$ABC$$. Chordála kružnice $$k$$ a bodu $$B$$ je priamka $$KL$$. Chordála kružnice $$k$$ a bodu $$C$$ je priamka $$MN$$. Bod $$P$$ teda leží na týchto dvoch chordálach. Keďže chordála je množina bodov majúcich rovnakú mocnosť k daným dvom kružniciam, tak bod $$P$$ musí mať rovnakú mocnosť k bodu $$B$$ a kružnici $$k$$, lebo leží na priamke $$KL$$. Zároveň bod $$P$$ musí mať rovnakú mocnosť k bodu $$C$$ a kružnici $$k$$, lebo leží na priamke $$MN$$. Tým pádom má bod $$P$$ rovnakú mocnosť k bodu $$B$$ ako k bodu $$C$$. To znamená, že $$|PB|^2=|PC|^2$$ (to je jeho mocnosť, lebo polomer je $$0$$), teda $$P$$ musí byť od oboch bodov vzdialený rovnako a úloha je tým dokázaná.