2. Klobúk Muchotrávky Skopnutej $\left(\kappa \le 2\right)$
Zadanie
Počas toho, ako sa vedúci sťažovali, sa Jožko prechádzal po okolí. Ako sa tak obzeral, zakopol o jednu zvláštnu hubu. Huba, o ktorú Jožko zakopol, mala klobúk v tvare trojuholníka . Nebol to ale obyčajný trojuholníkový klobúk.
V rovine je daný trojuholník $ABC$. Pre jeho uhly platí $|\sphericalangle ABC| = 2\cdot |\sphericalangle BAC|$. Taktiež na jeho strane $AB$ leží bod $D$ taký, že $|\sphericalangle ACD| = |\sphericalangle BCD|$ a navyše $|CD|=|BC|$. Určte veľkosť uhla $\sphericalangle BAC$.
Opravovatelia
Žaneta [email protected]
****
Označme si uhol $BAC$ ako $\alpha$ a uhol $BCD$ ako $\phi$.
Zo zadania vieme, že $|\sphericalangle ABC| = 2\alpha$. Keďže $|BC| = |CD|$, trojuholník $BCD$ je rovnoramenný so základňou $BD$, a teda platí $|\sphericalangle CBD| = |\sphericalangle BDC| = 2\alpha.$ Keďže súčet uhlov v trojuholníku $BCD$ je $180^{\circ}$, musí platiť $$\begin{align} 2\alpha + 2\alpha + \phi &= 180^{\circ}, \nonumber \ 4\alpha + \phi &= 180^{\circ}. \tag{1}\end{align}$$
Tiež vieme $|\sphericalangle ACD| = |\sphericalangle BCD| = \phi$, odkiaľ $$|\sphericalangle ACB| = |\sphericalangle ACD| + |\sphericalangle BCD| = 2\phi.$$
Opäť, pretože súčet uhlov v trojuholníku $ABC$ je $180^{\circ}$, musí platiť $$\begin{align} \alpha + 2\alpha + 2\phi &= 180^{\circ}, \nonumber \ 3\alpha + 2\phi &= 180^{\circ} \tag{2}.\end{align}$$
Rovnice $(1)$ a $(2)$ tvoria sústavu s neznámymi $\alpha, \phi$. Riešením tejto sústavy dostaneme $\alpha = \phi = 36^\circ$.
Odpoveď: veľkosť uhla $BAC$ je 36 stupňov.
