Opravovatelia

David [email protected]

Vzorové riešenie tejto úlohy si môžeš pozrieť aj ako video na našom YouTube kanáli www.youtube.com/KorMatSem.

Na začiatok si všimnime, že nejakým spôsobom by sme z rovnice $x+y=2$ chceli dostať jednu premennú a tú dosadiť do nerovnice. Chceme to ale urobiť tak šikovne, aby sa nám tam aj čosi vykrátilo alebo sčítalo na nulu. Chceme teda skúsiť použiť nejaký vzorec na úpravu kvadratického výrazu, pričom členy veľmi rýchlo ubúdajú výrazu $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$. Vhodnou substitúciou sa teda javí $$x=1+t,$$$$y=1-t,$$kde $t\in\langle-1;1\rangle$. Dosadením potom dostaneme $$\begin{align} (1+t)^2\cdot(1-t)^2\cdot((1+t)^2+(1-t)^2)&=(1-t^2)^2\cdot(1+2t+t^2+1-2t+t^2)=(1-t^2)\cdot(1-t^2)\cdot(2+2t^2)=\ &=2\cdot(1-t^2)\cdot(1-t^2)\cdot(1+t^2)=2\cdot(1-t^2)\cdot(1-t^4).\end{align}$$ Teraz si všimnime, že $t\in\langle-1;1\rangle$. To znamená, $0\leq t^2 \leq 1,0\leq t^4 \leq 1$ (všimnime si, že vďaka párnej mocnine je znamienko irelevantné), teda že $0\leq 1-t^2 \leq 1,0\leq 1-t^4 \leq 1$ a teda že $2\cdot(1-t^2)\cdot(1-t^4)\leq 2\cdot 1\cdot 1=2$, čo sme aj chceli dokázať.