Opravovatelia

Mišo M. [email protected]

Prvé pozorovanie, ktoré môžeme spraviť, je, že sčítame dve párne čísla, takže výsledok musí byť párny. Vieme zájsť dokonca ďalej. Keďže $n \geq 101$, oba sčítance sú násobkami $2^{101}$, takže aj ich súčet bude. Môžeme si tiež všimnúť, že vyššie mocniny dvoch už nevyhovujú. Pre $n = 101$ totiž dostaneme $2^{101} \cdot (10^{101} + 11^{101})$, pričom číslo v zátvorke bude nepárne. O dvojkách v rozklade $20^n + 22^n$ už vieme, čo potrebujeme, je teda na čase pozrieť sa aj na iné prvočísla.

Lenže ako na to? Zadanie poskytuje vcelku zaujímavú nápovedu v tom, že $2 \nmid n$. Pre nepárne $n$ vieme totiž súčet $a^n + b^n$ vždy rozložiť ako $$a^n + b^n = (a + b) \cdot (a^{n-1} - a^{n-2}b + \cdots - ab^{n-2} + b^{n-1}).$$ V našom prípade $a = 20,\, b = 22$. Teda, bez ohľadu na veľkosť $n$, vieme daný výraz vydeliť $42$, čím v prvočíselnom rozklade nájdeme aj $3$ a $7$. Otázkou zostáva, čím môže byť deliteľná tá druhá zátvorka.

Označme $s_n$ hodnotu v zátvorke pre nepárne $n$, t. j. $$s_n = 20^{n-1} - 20^{n-2} \cdot 22 + 20^{n-3} \cdot 22^2 - \cdots - 20 \cdot 22^{n-2} + 22^{n-1}.$$ Skúmať deliteľov takéhoto výrazu nie je úplne praktické. Nám však stačia delitelia, ktorí sú spoloční pre každé nepárne $n > 100$. Využijeme teda, ako ľahko vieme pomocou nejakého $s_n$ dostať iný výraz tohoto typu. Prvé, čo sa nám núka, je fakt, že $$s_{n+2} = 20^2 \cdot s_n - 20 \cdot 22^n + 22^{n+1}.$$ Ak teda niečo delí $s_n$ aj $s_{n+2}$, nutne to delí aj $- 20 \cdot 22^n + 22^{n+1} = 2 \cdot 22^n$. Keď si $s_{n+2}$ vyjadríme ako $20^{n+1} - 20^n \cdot 22 + 22^2 \cdot s_n$, rovnakou úvahou zistíme, že hľadáme deliteľa $-2 \cdot 20^n$. Môžeme si všimnúť, že tieto dve čísla majú v prvočíselnom rozklade spoločnú len dvojku ($11$ nedelí $20^n$, $5$ nedelí $22^n$). Iné prvočíslo teda nemôže deliť všetky $s_n$ a nového deliteľa nenájdeme.

Ostáva nám už len určiť všetky $k$. Vieme, že všetky prípustné hodnoty $20^n + 22^n$ sú deliteľné $2^{101},\, 3,\, 7$ (a žiadnym iným prvočíslom, ani väčšou mocninou $2, 3, 7$). Vhodné $k$ teda budú deliteľmi $2^{101} \cdot 3 \cdot 7$, teda čísla tvaru $2^a \cdot 3^b \cdot 7^c$, kde $a \in {0,\, 1,\, \ldots,\, 101},\, b \in {0,\, 1},\, c \in {0,\, 1}$.