Opravovatelia

Maťka [email protected]

Ako prvé si môžeme dopočítať vnútorné uhly trojuholníkov v obdĺžniku $ABCD$. Pre ľahšie vyjadrovanie si uhol $\angle ECB$ nazveme $\alpha$ a uhol $\angle EDA$ nazveme $\beta$. Keďže uhly pri vrchole obdĺžnika sú pravé a zo zadania vieme, že $\alpha + \beta = 90 ^{\circ}$, tak si môžeme dopočítať, že uhol $\angle EDC$ má veľkosť $90 ^{\circ} - \beta = \alpha$ a uhol $\angle ECD$ má veľkosť $90 ^{\circ} - \alpha = \beta$.

Keďže v trojuholníku je súčet vnútorných uhlov $180 ^{\circ}$, vieme dopočítať z trojuholníku $\triangle ECD$, že uhol $\angle CED$ má veľkosť $180 ^{\circ} - \beta - \alpha = 90 ^{\circ}$. Taktiež vieme dopočítať z trojuholníku $\triangle AED$, že uhol $\angle AED$ má veľkosť $180 ^{\circ} - 90 ^{\circ}- \beta = \alpha$. Všetky novo dopočítané uhly si zaznačíme do náčrtu.

****

Z náčrtu si môžeme všimnúť, že trojuholníky $\triangle ECD$ a $\triangle AED$ sú si podobné podľa vety uu, keďže oba majú rovnaké vnútorné uhly.

Našou úlohou je zistiť dĺžku strany $AE$ v trojuholníku $\triangle AED$, ktorá korešponduje k strane $DE$ v trojuholníku $\triangle ECD$. Dĺžku strany $DE$ už poznáme, teraz musíme zistiť aký pomer majú strany trojuholníkov medzi sebou.

Keďže trojuholník $\triangle ECD$ je pravouhlý, vieme pomocou Pytagorovej vety vypočítať dĺžku jeho prepony $CD$. $$\begin{align} |CD|^2 = 84^2 + 35^2\ |CD| = \sqrt{84^2 + 35^2}\ |CD| = 91\end{align}$$ Strana $DE$ v trojuholníku $\triangle AED$ korešponduje k strane $CD$ v trojuholníku $\triangle ECD$. Preto pomer týchto dvoch strán bude rovnaký ako pomer strán $AE$ a $DE$. $$\begin{align} \frac{|DE|}{|CD|} = \frac{84}{91} \ \frac{|DE|}{|CD|} = \frac{12}{13} \ \frac{|AE|}{|DE|} = \frac{12}{13} \ \frac{|AE|}{84} = \frac{12}{13} \ |AE| = \frac{1008}{13}\end{align}$$ Strana $AE$ má teda dĺžku $\frac{1008}{13} \approx 77,54$ palcov.