Opravovatelia

Viliam Geffert [email protected]

Zo zadania vieme, že $a_{n+1} = \frac {1}{a_0 + a_1} + … + \frac{1}{a_{n-1} + a_n}\frac{1}{a_n + a_{n+1}}$. Keďže vieme, že $a_n = \frac{1}{a_0 + a_1} + … + \frac{1}{a_{n-1} + a_{n}}$, člen $a_{n + 1}$ si vieme vyjadriť ako $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n + a_{n + 1}}$. To si vieme následne upraviť do tvaru: $$\begin{align} a_{n+1} &= a_n + \frac{1}{a_n + a_{n + 1}} \ a_{n+1}(a_n + a_{n+1}) &= a_n(a_n + a_{n + 1}) + 1 \ a_{n+1}^2 + a_{n+1}a_n &= a_n^2 + a_{n+1}a_n + 1 \ a_{n+1}^2 &= a_n^2 + 1 \ a_{n+1} &= \sqrt{a_n^2 + 1}\end{align}$$

Následne si môžeme dopočítať predchádzajúce členy postupnosti ($a_3, …, a_0$). $$\begin{align} a_4 &= \sqrt{a_3^2 + 1} \ 4 &= a_3^2 + 1 \ a_3 &= \sqrt{3} \end{align}$$

Podobným spôsobom si vieme dopočítať, že prvý (resp. nultý) člen postupnosti $a_0 = 0$. Z toho vyplýva, že pre každý člen postupnosti platí, že $a_n = \sqrt{n}$.

Člen $a_{2025}$ bude mať hodnotu $\sqrt{2025} = 45$.