Opravovatelia

Oski [email protected]

Džavo adam.dž[email protected]

Ako to už štandardne býva pri sústave rovníc, má zmysel skúsiť upraviť rovnice tak, aby sme vedeli jednu dosadiť do druhej. Pozorný pozorovateľ¹ môže ľahko spozorovať, že keď umocníme prvú rovnicu na $6$ a druhú na $a+f$, tak dostaneme $$\begin{align} a^{6(a+f)}&=f^{\ 144},\ f^{\ (a+f)(a+f)}&=a^{6(a+f)}.\end{align}$$ Týmto fígľom sme získali schopnosť dosadiť prvú rovnicu do druhej, čím dostávame $$\begin{align} f^{\ (a+f)(a+f)}=f^{\ 144}.\end{align}$$ Jedna možnosť je, že sa exponenty rovnajú. Okrem toho si môžeme uvedomiť, že exponenciálna funkcia $c^x$ je pre $c>1$ rastúca a pre $0<c<1$ klesajúca. To znamená, že s rôznymi exponentmi môže v nezáporných číslach nastať rovnosť len pre $f\in{0,1}$, avšak zo zadania vieme, že $f, a$ sú celé nenulové čísla, teda $f=0$ neprichádza do úvahy. A čo záporné čísla? Pravá strana je zrejme kladná, preto musí byť aj ľavá, a teda $a+f$ je párne. Potom však musí platiť $$\left(f^{\ 2}\right)^{\frac{1}{2}(a+f)(a+f)}=\left(f^{\ 2}\right)^{72},$$ pričom teraz už základ $f^{\ 2}$ exponenciálnej funkcie je kladný. Čiže aj v záporných číslach už dostaneme s rôznymi exponentmi navyše iba $f=-1$.

Pozrieme sa najprv na možnosť $f=1$. Dosaďme do prvej pôvodnej rovnice, čim dostaneme $a^{a+1}=1$. Táto rovnica má riešenie len $a\in{1,-1}$ alebo $a+1=0\rightarrow a=-1$.

Podobne to bude vyzerať pre prípad $f=-1$. Po dosadení do prvej rovnice, dostaneme $a^{a-1}=1$. Jediné riešenia tejto rovnice sú opäť $a\in{1,-1}$ alebo $a-1=0\rightarrow a=1$.

Nakoniec sa pozrime na prípad $(a+f)^2=144$ a $f\notin {1,-1}$, odkiaľ hneď môžeme vidieť, že $a+f=\pm 12$. Obe tieto riešenia postupne dosaďme do druhej pôvodnej rovnice. $$\begin{align} f^{\ 12}&=a^6,\ f^{\ 2}&=\pm a.\end{align}$$ Dosaďme $a=12-f$, čím dostaneme $$\begin{align} f^{\ 2}&=12-f, & f^{\ 2}&=-12+f,\ f^{\ 2}+f-12&=0, & f^{\ 2}-f+12&=0,\ (f-3)(f+4)&=0, & &\end{align}$$ kde prvá rovnica má dve riešenia v celých číslach $3$ a $-4$, ktoré keď dosadíme do rovnice $a=12-f$, dostaneme hodnoty $a=9$ a $a=16$. Druhá rovnica nemá riešenie v celých číslach.

Nakoniec dosaďme naše druhé riešenie z odstavca vyššie. $$\begin{align} f^{\ -12}&=a^6,\ f^{\ -2}&=\pm a,\ \frac{1}{f^{\ 2}}&=\pm a,\ 1&=\pm af^{\ 2}.\end{align}$$ Z poslednej rovnice môžeme vidieť, že tieto rovnice by platili len v prípade, že $f=\pm1$, keďže $a,f$ sú celé čísla. Teda táto vetva nám nepriniesla žiadne nové riešenia.

Teda sa nám podarilo nájsť všetky usporiadané dvojice $(a,f)$, ktoré spĺňajú vyššie uvedené rovnice, a to $(\pm1,\pm1)$, $(9,3)$ a $(16,-4)$. Nakoniec už len treba vykonať skúšku správnosti a overiť, či všetky naše riešenia spľňajú zadané rovnice. $$\begin{align} 1^{2}&=1^{24} & 1^{0}&=(-1)^{24} & (-1)^{0}&=1^{24}\ 1^{2}&=1^6 & (-1)^{0}&=1^6 & 1^{0}&=(-1)^6\ (-1)^{-2}&=(-1)^{24} & 9^{12}&=3^{24} & 16^{12}&=(-4)^{24}\ (-1)^{-2}&=(-1)^6 & 3^{12}&=9^6 & (-4)^{12}&=16^6\end{align}$$ Môžeme vidieť, že všetkých šesť usporiadaných dvojíc je riešením sústavy.