7. Kráľovskú Moc Skúša
Zadanie
Na východ od Afriky je mnoho ostrovov, no Matúš Móric Michal František Serafín August mal svoj stánok na tom najväčšom. Preto ho už po prvom roku povýšili na hlavného distribútora pre všetky bagetérie v okolí. Matúš Móric Michal František Serafín August povzbudený týmto povýšením sa rozhodol povýšiť ešte viac a prehlásil sa za kráľa celého ostrova. To sa nepáčilo právoplatnému kráľovi Julienovi, ktorý sa rozhodol zorganizovať domorodý odboj proti hnusným francúzskym kolonizátorom.
Keď už je Matúš Móric Michal František Serafín August kráľom, tak potrebuje korunu a žezlo. Žeziel má dostatok a v prípade hladu si z nich môže aj odkusnúť. Koruna mu však zatiaľ chýba, tak si ju musí upiecť. Jeho plech má tvar trojuholníka $ABC$. Na stranách $AB$ a $AC$ boli smerom von zostrojené rovnostranné trojuholníky $ABD$ a $ACE$. Úsečky $CD$ a $BE$ sa pretínajú v bode $F$. Ukázalo sa, že bod $A$ je stred kružnice vpísanej trojuholníku $DEF$. Nájdite veľkosť uhla $BAC$.
Opravovatelia
Mati [email protected]
Mimi [email protected]
Buď platí $\lvert AC \rvert \leq \lvert AB \rvert$, alebo naopak. Argument je pre oba prípady rovnaký, budeme predpokladať, že $\lvert AC \rvert \leq \lvert AB \rvert$. Bod $A$ je stredom kružnice vpísanej trojuholníku $DEF$, preto leží na osi uhla $EDB$. Takže $\lvert\sphericalangle ADE\rvert=\lvert\sphericalangle ADB\rvert$. Potom trojuholníky $ADE$ a $ADB$ sú zhodné podľa vety Ssu. Zdieľajú stranu $AD$ a trojuholník $AEB$ je rovnostranný, vďaka tomu aj $\lvert AE \rvert=\lvert AB \rvert$. Nakoniec aby sme mohli použiť vetu Ssu, tak si musíme uvedomiť (na čo mnohí zabudli), že $\lvert AB\rvert \geq \lvert AC \rvert=\lvert AD \rvert$. To však našťastie máme z predpokladu.
****
Už len jednoduchý výpočet. Okolo bodu $A$ je súčet uhlov $360^\circ=60^\circ+\lvert\sphericalangle BAD \rvert + \lvert\sphericalangle EAD \rvert$, avšak $\lvert\sphericalangle BAD \rvert = \lvert\sphericalangle EAD \rvert$. Po úprave dostávame, že $\lvert\sphericalangle BAD\rvert=150^\circ$, a teda $\lvert\sphericalangle CAB\rvert=150^\circ-60^\circ=90^\circ$.
