Úloha 1

Skúste sa pozrieť na to, kam sa z jedného políčka dostanete na dva ťahy.

Úloha 2

Pozrite sa na paritu počtu neparnych čísel.

Úloha 3

Najprv dokážte, že ak body $E$ a $F$ sú postupne body dotyku kružnice vpísanej na strany $AD$ a $BC$, tak úsečka $EF$ rozpoľuje plochu štvoruholníka $ABCD$. Ak stále nestačí, tak vám ešte prezradíme, že polomer kružnice je v bode dotyku kolmý na dotyčnicu.

Úloha 4

Okolo krížika dať $3$ kolieska do štvorčekov susediacich iba rohom nie je víťazná stratégia, skúste znova.

Úloha 5

Počítač má vyhrávajúcu stratégiu pre $n \ge 4$. Pokiaľ Slavove body tvoria konvexný štvoruholník, tak počítač zafarbí načerveno tie dva protiľahlé body štvoruholníka, ktoré majú súčet im prislúchajúcim uhlom aspoň $180^\circ$. Pri ukazovaní, že takáto stratégia funguje, využite, že bod $X$ leží mimo kružnice s tetitvou $AB$, ak uhol $AXB$ má menšiu veľkosť ako obvodový uhol prislúchajúci k tetive $AB$ v polrovine $ABX$.

Úloha 6

Odhadnite člen $a_{n+2}$ pomocou $a_n$ z čoho vyjde, že musia byť tak blízko seba, že medzi nimi je najviac jeden štvorec.

Úloha 7

Stačí keď $d$ je prvočíslo a $n \le d$. Využite, že zvyšky po delení $d$ sa časom opakujú a existuje $n$ pre ktoré $a^n$ aj $b^n$ majú zvyšok $1$ po delení $d$.

Úloha 8

Pre trojice bodov $ABO$, $BCO$, $CDO$, $DAO$ uvažujme tie body, ktoré dopĺňajú tieto trojice do obdĺžnikov. Aký je vzťah medzi bodom $O$, týmito štyrmi bodmi a stredmi strán $ABCD$? Aký je vzťah medzi bodom $T$ a týmito štyrmi bodmi?

Úloha 9

Zadanie 9. úlohy nebolo jasne formulované a ľahko sa dalo interpretovať inak, ako sme mysleli, za čo sa ospravedlňujeme. Zadaním sme mysleli pre dané $n$ nájsť najmenšie také $k$, že pre ľubovoľné poprepájanie miest Nemecka podľa zadania (teda, každá cesta je práve jednej z troch farieb a z každého mesta vyhchádzajú cesty troch rôznych farieb) možno zaviesť ekonomickú rovnováhu. To však, ktoré mesto vlastní ktorú cestu, si môžeme zvoliť pri zavádzaní rovnováhy. Nasledujúci návod sa vzťahuje na túto formuláciu úlohy. Pokiaľ ste úlohu pochopili inak, návod sme skryli pre prípad, že by ste sa chceli ešte nad ňou zamyslieť a aby vás zbytočne nemiatol.

Úloha 10

Ľahko ukážeme, že polynóm $Q$ je stupňa najviac $1$. Dosadením $n$ a $n+1$ do zadania a odčítaním dostaneme $$P(n)Q(n) = P(n+1)[Q(n+1) - 1].$$ Aby ľavá a pravá strana mali rovnaké korene, tak korene polynómu $P$ musia tvoriť aritmetickú postupnoť s diferenciou $1$. Zo vzťahu $P(1) = P(1)Q(1)$ dostávame, že $1$ je koreňom $P$ alebo $Q(n) = cn - c$.