Najprv sa pozrime na to, ktoré čísla medzi $1$ a $10^{12}$ dajú po umocnení na tretiu posledné dvojčíslie $11$. Nemusíme na to skúmať každé jedno číslo zvlášť. Stačí, ak sa pozrieme na zvyšky po delení číslom $100$, teda na všetky možné posledné dvojčíslia. Totiž posledné dvojčíslie $x$ nám určuje posledné dvojčíslia $x^3$. Tieto zvyšky môžu byť len čísla $0$ až $99$. Pravdepodobnosť výskytu každého dvojčíslia je rovnaká, pretože máme čísla od $1$ do $10^{12}$.

Teraz nás zaujíma, koľko z týchto posledných dvojčíslí po umocnení na tretiu končí $11$. Môžme to urobiť dvoma spôsobmi, šikovnejšie a pracne. Pracný spôsob je jednoduchý. Iba vyskúšame všetky možnosti tak, že každé číslo od $0$ po $99$ umocníme na tretiu a zistíme, či vyhovuje. Šikovnejší spôsob je pre tých, ktorým sa nechcelo skúšať 100 možností.

Vieme, že žiadne číslo deliteľné $2$ po umocnení nebude končiť $11$, lebo posledná cifra musí byť nutne párna. Rovnako, ani číslo deliteľné $5$ nebude končiť $11$, lebo posledná cifra bude buď $0$, alebo $5$. Teraz by už stačilo vyskúšať len 40 možností. Ak sa pozrieme na čísla $0$ až $99$, ako na zvyšky po delení $10$, dostaneme poslednú cifru čísla. Tá po umocnení na tretiu musí byť nutne $1$ (aby bolo posledné dvojčíslie $11$). Takže nám stačí vyskúšať len 4 možnosti $(1,3,7,9)$ a zistíme, že posledná cifra dvojčíslia pred umocnením môže byť len $1$. Už len overíme, koľko z čísel $01,11,21,31,41,51,61,71,81,91$ po umocnení na tretiu končí $11$.

Nakoniec zistíme, že len $71^3=357911$. Preto jediné vyhovujúce posledné dvojčíslie zo 100 možných je $71$. Každé posledné dvojčíslie sa medzi číslami $1$ až $10^{12}$ vyskytuje rovnako veľa krát. Pravdepodobnosť, že posledné dvojčíslie čísla $x^3$ bude $11$ je $1/100$.