Máme nájsť všetky trojice kladných celých čísel$(a,b,n)$, čiže $a,b,n \in \mathbb{N}$, že $a! + b! = 2^n$. Keďže vidíme, že tam máme dva faktoriály a $2^n$ tak sa pokúsime nájsť tieto trojice pomocou prvočíselného rozkladu.

Faktoriál je také číslo ktoré vieme zapísať ako $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$, čo už samo o sebe vyzerá podobne ako prvočíselný rozklad. Číslo $2^n$ zas vieme napísať ako $2^n = 2\cdot2\cdot2\cdot \cdots \cdot2$, čo je prvočíselný rozklad čísla $2^n$.

Zoberme si dva veľké faktoriály, také že $a,b \geq 3$. Tie vieme napísať do rovnice ako $a!+b!=1\cdot2\cdot3\cdot o + 1\cdot2\cdot3\cdot s = 2^n$ kde $o$ a $s$ sú zvyšné činitele faktoriálu. Z toho vieme vyňať $3$ a dostaneme $3\cdot(1\cdot2\cdot o + 1\cdot2\cdot s) = 2^n$, z čoho ale vyplýva, že číslo $2^n$ by malo byť deliteľné tromi. To ale nie je pravda, lebo v prvočíselnom rozklade má len dvojky. Takže nám z tohto vyplýva, že $a$,$b$ nemôžu byť naraz obidve väčšie ako $2$.

Teraz sa pozrime na prípad, že BUNV ¹ $a \geq 4$, $b < 3$. Pre $b = 2$ dostaneme rovnicu $a! + 2! = 2^n$, túto môžeme predeliť $2$. Dostaneme $\frac{a!}{2} + 1 = 2^{n-1}$. O $\frac{a!}{2}$ vieme, že je párne, keďže obsahuje ešte minimálne $4$-ku v rozklade na súčin. Z toho vyplýva, že $\frac{a!}{2}+1$ je nepárne, a teda sa nemôže rovnať $2^{n-1}$ ($2^{n-1}$ je nepárne len keď $n = 1$, čo nemá žiadne riešenie, lebo súčet dvoch prirodzených čísel je minimálne $2$). Pre $b = 1$ tiež nesedí parita, dokonca ak je jedno z čísel $a$, $b$ rovné $1$, tak kvôli parite musí byť aj to druhé $1$.

Takže sme zistili, že obe $a,b \leq 3$, ale nemôžu byť obe naraz rovné $3$, a že keď sa len jedno rovná $1$ tak to nemá riešenie. Z toho máme $4$ možné kombinácie $a$ a $b$, a to $(1,1)$, $(2,2)$, $(2,3)$ a $(3,2)$. Tieto vieme dosadiť a dostaneme z toho trojice $(1,1,1)$, $(2,2,2)$, $(2,3,3)$ a $(3,2,3)$.

Našli sme štyri trojice $(1,1,1)$, $(2,2,2)$, $(2,3,3)$ a $(3,2,3)$, ktoré spĺňajú našu rovnosť a dokázali sme, že žiadne iné neexistujú.