7. Kruhy Medzinárodnej Šarvátky
Zadanie
Mesto odolalo obliehaniu. Matúš pokušeniu vyhodiť svojich neschopných generálov zo skupiny. A Ákos nutkaniu zastaviť sa cestou z bojiska v najbližšom mäsiarstve po klobásku. Tak sa stalo, že všetko toto sa stretlo na jednej kope a všetci žili v obliehaní, síce nie šťastní, ale aspoň dokým nepomreli. Mesto obkľúčili Mirove hradby, ktoré obkľúčil Matúš, ktorého obkľúčila Ákosova armáda. A pletky s kružnicami sa mohli začať.
Dané sú kružnice $k_1$ a $k_2$, ktoré majú stredy $O_1$ a $O_2$ a ktoré sa pretínajú v bodoch $A$ a $B$. Priamka $O_1A$ pretína $k_2$ v bodoch $A$ a $C$ a priamka $O_2A$ pretína $k_1$ v bodoch $A$ a $D$, pričom $A$ je vnútorným bodom úsečiek $O_1C$ aj $O_2D$. Priamka rovnobežná s priamkou $AD$, ktorá prechádza cez bod $B$ pretína $k_1$ v bodoch $B$ a $E$. Predpokladajme, že priamky $AC$ a $DE$ sú navzájom rovnobežné. Dokážte, že priamka $CD$ je kolmá na priamku $CO_2$.
Príprava pred úlohou. Plán útoku na túto úlohu bude nasledovný, dokážeme, že $O_1,O_2,C,D$ ležia na kružnici. Potom dokážeme, že $|\sphericalangle DCO_1| + |\sphericalangle O_1CO_2| = 90^\circ$. Na to však využijeme niektoré poznatky z geometrie, ktoré bez dôkazov sformulujeme do Lemy 1 a Lemy 2. Dôkazy si môžete skúsiť spraviť na domácu úlohu. :)
Lema 1. Majme kružnicu $k$ a v nej dve rovnobežné tetivy $t_1$ a $t_2$, potom body $A,B \in k \cap t_1; A\neq B$ a $C,D \in k\cap t_2; C\neq D$ tvoria rovnoramenný lichobežník.
Lema 2. Predpokladajme, že body $Y, Z$ ležia v tej istej polrovine danej priamkou $WX$. Potom body $W,X,Y,Z$ ležia na kružnici práve vtedy, keď platí $|\sphericalangle WYX|=|\sphericalangle WZX|$.
Riešenie. Označme $|\sphericalangle ACO_2| = \alpha$. Keďže trojuholník $ACO_2$ je rovnoramenný, tak aj $|\sphericalangle O_2AC| = \alpha$. Potom aj $|\sphericalangle DAO_1| = \alpha$, pretože, sa jedná o vrcholové uhly. Taktiež vieme, že trojuholník $O_1AD$ je rovnoramenný s ramenami $O_1A$ a $O_1D$. Teda aj $|\sphericalangle O_1DA|= \alpha$ a z rovnosti $|\sphericalangle ACO_2| = \alpha = |\sphericalangle O_1DA|$ vidíme, že body $O_1,O_2,C,D$ vďaka Leme 2 ležia na kružnici. Ešte podotkneme, že body $C,D$ vskutku ležia v tej istej polrovine danej priamkou $O_1,O_2$.
Dodefinujme bod $G$ ako druhý priesečník priamky $AO_1$ s kružnicou $k_1$. Keďže tetivy $GA$ a $ED$ sú rovnobežné tak podľa Lemy 1 je $GADE$ rovnoramenný lichobežník, a preto platí pre uhly $|\sphericalangle DAG|=|\sphericalangle AGE|=\alpha$. Ďalej, keďže body $AEGB$ ležia na kružnici tak musí taktiež platiť, že $|\sphericalangle AGE|=|\sphericalangle ABE|=\alpha$. Keďže priamky $O_2D$ a $BE$ sú rovnobežné (zo zadania), tak uhly $|\sphericalangle ABE|=|\sphericalangle BAO_2|=\alpha$. A nakoniec, keďže $AO_2B$ je rovnoramenný trojuholník tak $|\sphericalangle AO_2B|= 180^\circ -2\alpha$.
Je známe, že spojnica $AB$ je rozpolená spojnicou stredov kružníc $O_1O_2$ a preto uhol $|\sphericalangle AO_2O_1|=90^\circ - \alpha$. No ale z tetivovosti $O_1O_2CD$ je jasné, že aj $|\sphericalangle O_1CD|=90^\circ -\alpha$. A teraz si spomenieme, že na začiatku sme si povedali, že $|\sphericalangle ACO_2| = \alpha$, takže dokopy, $|\sphericalangle O_1CD| + |\sphericalangle ACO_2| = 90^\circ - \alpha + \alpha = 90^\circ$. Čo je to, čo sme chceli dokázať.
