Nadránom vstúpil muž do budovy, nad ktorou práve doblikal neónový nápis „Danteho Detektívna Agentúra,“ sňal si z hlavy klobúk a aj so sakom ho zavesil na vešiak. Prešiel zo päť metrov a sadol si za svoj dubový stôl. Vyložil si naň nohy a zobral do rúk noviny. Hľadiac na titulnú stranu uvidel, že je zase niekto nezvestný. Danteho detektívnou agentúrou sa ozývalo: „Chalani! Vyzerá to, že máme znovu robotu!”
Nájdite všetky dvojice kladných celých čísel $(a,b)$, pre ktoré platí $$4^a=b^2+7.$$ Niekto ich zase uniesol. Nájdite ich! Bleskovo!“ kričal Dante na svojich podriadených.
Rovnicu zo zadania si upravíme nasledujúcim spôsobom $$\begin{aligned} 4^{a} - b^{2} = 7,\ (2^{a})^{2} - b^{2} = 7,\ (2^{a} - b)(2^{a} + b) = 7.\end{aligned}$$
Súčin dvoch celých čísel je kladný. Vieme, že $2^{a} + b > 0$, teda aj $2^{a} - b > 0$. Súčin týchto dvoch kladných celých čísel je $7$. Také čísla sú iba $7$ a $1$.
Pretože $2^{a} - b < 2^{a} + b,$ $$2^{a} - b = 1, \qquad 2^{a} + b = 7.$$
Sčítaním týchto rovníc dostaneme $2 \cdot 2^{a} = 8$, teda $a = 2$ a $b = 3.$
Odpoveď: rovnici vyhovuje iba dvojica čísel $(2, 3)$.
Korešpondenčný matematický seminár zastrešuje občianske združenie Trojsten.
Trojsten, o.z.
FMFI UK, Mlynská dolina
842 48 Bratislava
Intenzívny matematický zážitok v lete
Tímová matematická súťaž pre stredoškolákov
Knižnica všemožných matematických múdrostí