Na riešenie tejto úlohy použijeme známy vzorec pre súčet prvých $i$ kladných celých čísel

$$\label{jeden} 1+2+3+\dots+(i-1)+i=\frac{i(i+1)}{2}.$$

Tento vzorec môžeme využiť, aby sme zistili súčet čísel od $n$ po $n+k-1$. Prečo práve $k-1$? Všimnime si, že čísel od $n$ po $n+k-1$ je práve $k$. Stačí nám už teda nájsť iba najvyššiu možnú hodnotu $k$, aby sme zistili odpoveď na otázku zo zadania.

Pomocou [jeden] vieme vypočítať súčet čísel od $1$ po $n+k-1$. Nás však zaujíma súčet od $n$ po $n+k-1$, a nie od $1$. Nestačí nám teda použiť [jeden] iba raz. Budeme musieť od súčtu čísel od $1$ po $n+k-1$ odčítať súčet čísel od $1$ po $n-1$:

$$\begin{aligned} 1 + 2 + \dots + (n - 2) + (n - 1) &= \frac{(n-1)n}{2}, \ 1 + 2 + \dots + (n - 1) + n + (n + 1) + \dots + (n+k-2) + (n+k-1) &= \frac{(n+k-1)(n+k)}{2}, \ \frac{(n-1)n}{2} + n + (n + 1) + \dots + (n+k-2) + (n+k-1) &= \frac{(n+k-1)(n+k)}{2}, \ n + (n + 1) + \dots + (n+k-2) + (n+k-1) &= \frac{(n+k-1)(n+k)}{2} - \frac{(n-1)n}{2}, \ \frac{(n+k-1)(n+k)}{2}-\frac{(n-1)n}{2}&=1000, \ n^2+2nk+k^2-n-k-\left(n^2-n\right)&=2000, \ 2nk+k^2-k&=2000, \ k\left(2n+k-1\right)&=2000.\end{aligned}$$

Môžeme si všimnúť, že hľadáme dve kladné celé čísla, ktorých súčin je $2000$. Aby toto tieto čísla spĺňali, musia byť obe deliteľmi $2000$. Ďalej môžeme pozorovať, že $k < 2n + k - 1$. Delitele čísla $2000$ teda môžeme priradiť k týmto dvom činiteľom nasledovne:

Keďže chceme nájsť čo najväčšie možné $k$, skúsime za $k$ dosádzať postupne najvyššie možné hodnoty. Ak $k=40$, potom $2n+k-1=50$, čo by znamenalo, že $n=\frac{11}{2}$. My však vieme, že $n$ musí byť celé číslo, teda $k\neq40$. Ďalšia možnosť je $k=25$. Potom $2n+k-1=80$, z čoho $n=28$. Tieto hodnoty vyhovujú všetkým podmienkam zo zadania, našli sme teda riešenie.

Dante mohol mať najviac $25$ po sebe idúcich kladných celých čísel: $$28+29+30+\dots+50+51+52=1000.$$

Pozn.: Na vzorec sa dalo prísť aj nasledovne. Vypíšeme si súčet čísel od $n$ po $n-k+1$. Všimnime si, že sa v ňom $n$ nachádza práve $k$ krát a zvyšné členy tvoria súčet čísel od $1$ po $k-1$:

$$\begin{aligned} n+(n+1)+(n+2)+\dots+(n+k-2)+(n+k-1)&=1000, \ kn+1+2+\dots+(k-2)+(k-1)&=1000, \ kn+\frac{(k-1)k}{2}&=1000, \ 2nk+k^2-k&=2000 \ k\left(2n+k-1\right)&=2000.\end{aligned}$$