Akým spôsobom by sme vedeli dokázať, že body $M, F, C$ ležia na jednej priamke? Predsa pomocou vrcholových uhlov, stačí dokázať $|\sphericalangle CFD|=|\sphericalangle EFM|$. Keďže zadané trojuholníky sú zhodné a rovnoramenné, tvar celého obrázka závisí len od jedného uhla. Napríklad keď si označíme $|\sphericalangle ACB|=\alpha$, všetky ostatné uhly závisia len od hodnoty $\alpha$ a pri troche šťastia by sa nám ich mohlo podariť dopočítať. Každý z našich šesť zhodných trojuholníkov má dva uhly rovné $\alpha$ a jeden uhol $180^\circ-2\alpha$.

Vyjasnime si ešte jednu vec. Zadanie hovorí, že trojuholníky sú umiestnené ako na obrázku, čím sa myslí aj to, že body sú usporiadané v rovnakom poradí ako na obrázku. To konkrétne znamená, že bod $D$ leží vnútri úsečky $AC$, čo je to ekvivalentné s tým, že trojuholník $ABC$ má kratšiu základňu ako ramená, $|CB|<|AC|$.

Zamerajme sa na uhol $|\sphericalangle CFD|$. Trojuholník $CDF$ je rovnoramenný, lebo $|FD|=|ED|-|EF|=|AC|-|AD|=|CD|$. Vieme, že uhol $FDA$ má veľkosť $\alpha$ a je vonkajším uhlom v trojuholníku $CDF$. Využijeme, že súčet dvoch vnútorných uhlov trojuholníka je rovný vonkajšiemu protiľahlému uhlu (premyslite si), teda $|\sphericalangle CFD|+|\sphericalangle FCD|=|\sphericalangle FDA|=\alpha$. Zároveň z rovnoramennosti sú uhly $|\sphericalangle CFD|$ a $|\sphericalangle FCD|$ rovnaké, takže oba majú veľkosť $\alpha /2$.

Teraz by sme chceli vyjadriť uhol $|\sphericalangle EFM|$, ideálne aby bol tiež $\alpha /2$. Všimnime si päťuholník $FGHKM$. Štyri jeho strany majú rovnakú dĺžku a tri uhly $FGH$, $GHK$, $HKM$ majú rovnakú veľkosť, lebo sú zložené z dvoch uhlov $\alpha=|\sphericalangle IGH|=|\sphericalangle JHK|=|\sphericalangle LKM|$ a $180^\circ-2\alpha=|\sphericalangle FGE|= |\sphericalangle GHI|=|\sphericalangle HKJ|$. Päťuholník vyzerá byť symetrický podľa osi úsečky $MF$. Dalo by sa to zdôvodniť tým, že rovnoramenný trojuholník $GHK$ je symetrický podľa osi uhla $GHK$, na úsečky $HK$ a $HG$ napojíme úsečky $KM$ a $GF$ rovnakej dĺžky pod rovnakými uhlami, takže budú tiež symetrické podľa tejto osi uhla. Potom obraz uhla $KMF$ v osovej súmernosti podľa tejto osi je uhol $GFM$, takže majú rovnakú veľkosť: $|\sphericalangle KMF|=|\sphericalangle GFM|$.

Uvedieme ešte jedno zdôvodnenie rovnosti $|\sphericalangle KMF|=|\sphericalangle GFM|$. Rovnoramenné trojuholníky $FGH$ a $HKM$ sú zhodné podľa vety $sus$, takže $|HF|=|HM|$. Trojuholník $MHF$ je rovnoramenný, takže $|\sphericalangle HFM|=|\sphericalangle HMF|$. Už ľahko spočítame rovnosť uhlov $|\sphericalangle KMF|=|\sphericalangle KMH|+|\sphericalangle HMF|=|\sphericalangle GFH|+|\sphericalangle HFM|=|\sphericalangle GFM|$.

Ďalej použijeme poznatky, že $|\sphericalangle KMF|=|\sphericalangle GFM|$, a že súčet uhlov v päťuholníku je $540^\circ$ a dostaneme $$|\sphericalangle GFM|=\frac{540^\circ-3|\sphericalangle GHK|}{2}=\frac{540^\circ-3(180^\circ-\alpha)}{2}=\frac{3\alpha}{2}.$$

Nakoniec naozaj dostávame $|\sphericalangle EFM|=|\sphericalangle GFM|-|\sphericalangle GFE|=\frac{3}{2}\alpha-\alpha=\alpha/2$, čím sme dokázali, že body $M, F, C$ budú vždy ležať na jednej priamke, nezávisle od tvaru trojuholníka $ABC$.