8. Kulprit Musí Sedieť
Zadanie
Dante nakúpil náboje a pristúpil k Jerrymu. „Dočuj, prisámvačku, občas sa mi marí, že máš za pultom zašmodrchaného nejakého gan-“ V tú ranu spoza pultu vyskočil vysoký uhol a vyrazil na ulicu. Dante sa obrátil na podpätku a v zlomku sekundy ho dolapil. „Počuj, nie si ty ten uhol, čo vykradol Banku pána Bambulu na siedmej avenue?“ Uhol sa však len krútil a volal, že chce právnika. Dante si teda posunul klobúk hlbšie do čela a pustil sa do detektívovania. Je načim dokázať, že tento uhol a tamten uhol sú jeden a ten istý uhol.
Kružnica vpísaná trojuholníku $ABC$ sa dotýka strán $BC$, $AC$, $AB$ postupne v bodoch $D$, $E$, $F$. Úsečka $AD$ pretína kružnicu vpísanú trojuholníku $ABC$ druhý raz v bode $Q$. Priamka $p$ je rovnobežná s priamkou $BC$ a prechádza cez bod $A$. Priamky $DF$ a $DE$ pretínajú priamku $p$ postupne v bodoch $P$ a $R$. Dokážte, že uhly $PQR$ a $FQE$ majú rovnakú veľkosť.
Nech sú uhly trojuholníka $ABC$ $\alpha,\beta,\gamma$ ako obvykle. Najprv si uvedomme, že uhly v trojuholníku $DEF$ poznáme, sú to postupne $90-\frac{\alpha}{2}, 90-\frac{\beta}{2},90-\frac{\gamma}{2}$. Pre $D$ sa to dá ukázať s použitím vety o obvodových a úsekových uhloch pre uhly $EFA$ a $AEF$: $|\sphericalangle EFA|= |\sphericalangle EDF|= |\sphericalangle AEF|$, a z trojuholníka $AEF$ získavame, že táto spoločná veľkosť uhlov je $90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$. Pre zvyšné vrcholy to ide podobne.
Vidíme ďalej, že uhol $|\sphericalangle EFP|=180^{\circ}-|\sphericalangle DFE|=180^{\circ}-(90^{\circ}-\gamma)=90^{\circ}+\gamma$. A tiež sa dá kvôli rovnobežnosti $PR$ a $DC$ odvodiť $|\sphericalangle PRE|=|\sphericalangle CDE|=90^{\circ}-\gamma$, teda súčet uhlov $PRE$ a $EFP$ je $180^\circ$, (alebo inak povedané, orientované uhly $PRE$ a $PFE$ sú rovnaké modulo $180^{\circ}$), teda štvoruholník $FERP$ je tetivový.
Ďalej vieme, že $|AF|=|AE|$ a ďalej vieme, že $|\sphericalangle REA|= 90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}=|\sphericalangle ARE|$, teda aj $|AE|=|AR|$, teda A je stredom kružnice opísanej $FERP$. Z toho vďaka Tálesovej vete vyplýva, že $|\sphericalangle RFP|=|\sphericalangle REP|= 90^{\circ}$, teda $RF$ a $PE$ sú výšky v trojuholníku $DRP$.
Teraz sa pozrime na to, že čo vlastne chceme ukázať: $|\sphericalangle FQE|= |\sphericalangle RQP|$. Ale z tetivovosti $DEQF$ vieme, že vlastne chceme ukázať to, že ak pri $D$ máme uhol $\phi$, tak $|\sphericalangle RQP|=180^{\circ}-\phi$. Teda podarilo sa nám úlohu previesť ekvivalentnými krokmi na túto známu lemu, ktorú ukážeme iba v tomto špeciálnom prípade, no dá sa takýmto spôsobom ukázať aj všeobecne, nie len s takýmito uhlami.
Lema. Ak máme daný trojuholník (tu $DRP$), tak ten bod (tu $Q$), ktorý leží na ťažnici z daného vrcholu s vnútorným uhlom $\phi$ (tu $D$), a tiež na kružnici určenej tým istým vrcholom a dvomi pätami výšok (tu kružnica $DEF$) pri tomto vrchole má vlastnosť, že nad treťou stranou má uhol $180^{\circ}-\phi$.
Dôkaz. Vieme, že $FERP$ je tetivový štvoruholník, teda vieme, že $|\sphericalangle FPA|=|\sphericalangle FED|=|\sphericalangle FQD|= 180^{\circ}-|\sphericalangle AQF|$, teda $APFQ$ je tiež tetivový, z čoho si vieme získať $|\sphericalangle AQP|=|\sphericalangle AFP|=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}$, a podobne sa dá ukázať tetivovsť $AQER$ a $|\sphericalangle RQA|=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}$, a tak teda $$|\sphericalangle RQP|=|\sphericalangle AQP|+ |\sphericalangle RQA|= 90^{\circ}-\frac{\beta}{2}+ 90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.$$ A nakoľko pri $D$ sme mali uhol $90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$, máme našu lemu dokázanú.
Teda ukázali sme, že požadované dva uhly sa naozaj rovnajú.
