Ukážeme, že riešením je $k=2017$. Na to, aby sme to dokázali, potrebujeme urobiť dve veci. Nájsť konštrukciu pre $k=2017$ (t. j. polynóm a 2017 čísel, ktoré Mr. Miro povie deťom) a ukázať, že pre menšie $k$ to Mr. Miro nevie spraviť.

Prepokladajme preto, že $k\le 2016$. Nech si Mr. Miro myslí polynóm $P(x)$. Ukážeme, že v tomto prípade úloha, ktorú Mr. Miro zadá nebude mať nikdy jednoznačné riešenie. A to tak, že nájdeme iný polynóm, ktorý vyhovuje podmienkam. Bude to polynóm $Q(x)=P(x)+(x-n_1)(x-n_2)\cdots(x-n_k)$. Zjavne $Q(x)$ má celočíselné koeficienty (aj $P(x)$ mal) a je monický stupňa $2017$, pretože $k\le 2016$. Tak isto platí, že $Q(n_i)=P(n_i)$, pre všetky $1\le i\le k$. Preto aj $P(n_1)P(n_2)\cdots P(n_k)=Q(n_1)Q(n_2)\cdots Q(n_k)$. To znamená, že polynóm $Q(x)$ vyhovuje všetkým podmienkam Mr. Mira, a preto riešenie nie je jednoznačné.

Teraz potrebujeme zostrojiť polynóm a nájsť 2017 čísel, tak aby úloha Mr. Mira mala jenoznačné riešenie. Dobré bude položíť súčin $P(n_1)P(n_2)\cdots P(n_{2017})=1$, lebo potom bude málo možností na $P(n_i)$. Presnejšie dve – pre všetky $i$ bude $P(n_i)=\pm 1$.

Mirov polynóm môže byť preto $P(x)=(x-n_1)(x-n_2)\cdots(x-n_{2017})+1$, pre vhodnú voľbu čísel $n_i$. Bolo by dobré, keby deti vedeli vylúčiť možnosť $P(n_i)=-1$. Na to použijeme takú vec, že pre polynómy s celočíselnými koeficientami platí $a-b\mid P(a)-P(b)$. Ak teda máme $a,\,b$ také, že $P(a)=1$ a $P(b)=-1$, tak nutne $a-b\mid 2$. Preto položíme $n_i=3i$, pre všetky $1\le i \le 2017$. Zjavne potom nemôže nastať situácia, že $P(n_i)=1$ a $P(n_j)=-1$, pre nejaké $i,\,j$. A keďže nemôže pre všetky $i$ platiť, že $P(n_i)=-1$, lebo $2017$ je nepárne, tak nutne naozaj $P(n_i)=1$ pre všetky $1\le i \le 2017$.

Otázka je tá, či je týmto už polynóm jednoznačne určený. Odpoveď je áno, pretože $P(x)-1$ musí mať za korene všetky čísla $3,\,6,\,9,\,\dots,\, 3\cdot 2017$ Preto nutne $P(x)-1=(x-3)(x-6)\cdots(x-2017\cdot 3)R(x)$, pre nejaký polynóm $R(x)$. No keďže $P(x)-1$ je monický polynóm stupňa $2017$, tak nutne $R(x)=1$. Samozrejme, ak je jednoznačne určený polynóm $P(x)-1$, tak z neho vieme jednoznačne určiť $P(x)$. Našli sme preto polynóm a $2017$ čísel, pre ktoré má úloha od Mr. Mira jediné riešenie. Záver je, že $k=2017$.