6. Krtko + Metly = Srdiečko
Zadanie
Keď sa preberie, vidí Ginevru a Lancelota, ktorí sa nad ním skláňajú. Ginevra sa podujme mu vysvetľovať, že kujú spolu pikle. Na čo sa Krtko ohradí, že on s tým nechce mať nič spoločné, avšak Lancelot ho nepočúva a zavrie ho do kumbálu na metly. Tu si Krtko smutne povzdychne, že azda mu sú metly súdené. Všimne si však vitrážové okno, na ktorom je množstvo trojuholníkov.
V ostrouhlom trojuholníku $ABC$ označme $D,\, E$ postupne päty výšok z vrcholov $B,\, C$ a priesečník týchto výšok označme $H$. Nech $q$ je kolmica z vrcholu $C$ na priamku $DE$ a $I$ je priesečník $q$ s priamkou $BD$. Dokážte, že trojuholníky $HIC$ a $ABC$ sú podobné.
Opravovatelia
Jožko [email protected]
Miloš [email protected]
Vzorové riešenie tejto úlohy si môžeš pozrieť aj ako video na našom YouTube kanáli www.youtube.com/KorMatSem.
Načrtnime si situáciu zo zadania a označme si priesečník priamky $q$ a priamky $DE$ ako $J$.
Trojuholníky $AEC$ a $HDC$ sú podobné, keďže majú jeden pravý uhol a jeden spoločný uhol $ACE=DCH$. Tým pádom aj uhly $EAC$ a $CHD$ sú rovnako veľké. $$|\sphericalangle EAC|=|\sphericalangle CHD|=\alpha$$
Štvoruholník $BCDE$ je tetivový, nakoľko uhly $BDC$ a $BEC$ sú oba pravé a ležia nad rovnakou tetivou $BC$. Tým pádom aj uhly $CED$ a $CBD$ majú rovnakú veľkosť, nakoľko ležia nad rovnakou tetivou $CD$. $$|\sphericalangle CED|=|\sphericalangle CBD|=\delta$$
Trojuholníky $BCD$ a $ECJ$ sú podobné, nakoľko oba majú jeden uhol pravý a jeden veľkosti $\delta$. Z toho vyplýva, že uhly $BCD$ a $ECJ$ sú tiež rovnako veľké. $$|\sphericalangle BCD|=|\sphericalangle ECJ|=\gamma$$
Posledne už vieme dokázať, že trojuholníky $HIC$ a $ABC$ sú podobné, nakoľko oba majú dva uhly rovnakej veľkosti. $$|\sphericalangle CHI|=|\sphericalangle BAC|=\alpha\qquad|\sphericalangle ICH|=|\sphericalangle ACB|=\gamma$$
****
Komentár
Na rovnosť uhlov $CED$ a $CBD$ je možné prísť aj bez použitia tetivových štvoruholníkov. Stačí si za pomoci vrcholových uhlov pri vrchole $H$ všimnúť, že trojuholníky $EBH$ a $DCH$ sú podobné, keďže majú dva uhly rovnakej veľkosti. Tým pádom sú pomery strán $EH$ a $DH$ rovné pomeru strán $BH$ a $CH$.
Následne vieme o trojuholníkoch $BCH$ a $EDH$ povedať, že sú podobné, pretože majú jeden vrcholový uhol rovnakej veľkosti a pomery dvoch strán sú rovné. Tým pádom dostávame hľadanú rovnosť uhlov $CED$ a $CBD$.
