Opravovatelia

Lucka [email protected]

Pozrime sa najskôr na paritu. V prvej rovnici sú všetky členy okrem $3z^2$ párne, takže aby táto rovnica platila, musí byť párne aj $3z^2$, a teda aj $z$. Pravá strana druhej rovnice potom bude nepárna, a preto $13x$, a teda aj $x$, musí byť nepárne.

Mohli by sme skúmať aj deliteľnosť ďalšími číslami, no výhodnejšie môže byť pokúsiť sa ohraničiť hodnoty, ktoré môžu premenné nadobúdať. V prvej rovnici vieme s využitím $y^2,z^2>0$ ohraničiť pravú stranu dvomi spôsobmi $$\begin{align} 2x^2&=4y^2+3z^2+2>2y^2,\ 2x^2&=4y^2+3z^2+2>2z^2.\end{align}$$ Keďže $x,y,z$ sú kladné, tak z toho vyplýva $x>y$ a $x>z$. Tieto ohraničenia môžeme využiť v druhej rovnici: $$4y+3z+29=13x=6x+4x+3x>6x+4y+3z.$$ Odčítaním $4y+3z$ od oboch strán dostaneme $$6x<29,$$ čiže $x<\frac{29}6<5$. Zároveň $x>y\ge1$. Vieme teda, že $1<x<5$ a zároveň $x$ je nepárne, a tak $x$ môže byť len $3$. Nakoľko $z$ je párne a $z<x$, jediná možnosť pre $z$ je $z=2$. Potom z druhej rovnice v zadaní dostaneme $y=1$. Sústava rovníc zo zadania tak má nanajvýš jedno riešenie a zostáva nám už len overiť, že $(x,y,z)=(3,1,2)$ naozaj vyhovuje. To overíme jednoducho dosadením do oboch rovníc – v prvej nám vyjdú obe strany rovné $18$ a v druhej $39$, čiže obe rovnice platia. Jediným riešením sústavy rovníc zo zadania tak je $(x,y,z)=(3,1,2)$.