Úloha 1

Keď $A$ hrá s $B$, tak $B$ môže hrať už len s jedným $C$. Takto vieme pokračovať, až sa raz dostaneme späť do $A$. Nie nutne sme prešli všetkých, tak si vyberieme ďalšiu obeť a budeme pokračovať. Ako to teraz vieme povyberať, aby sme mali $16$ námorníkov?

Úloha 2

Stačí si uvedomiť, že zisťujeme vlastne veľkosť uhla $ABM_2$, a že štvoruhlolník $ABCD$ je rovnobežník. Potom už len využiť vlastnosti trojuholníka $DCB$.

Úloha 3

Označme prvé dve políčka prvého riadku $a$ a $b$ a prvé políčko druhého riadku $c$. Vyjadrite pomocou $a$, $b$ a $c$ ostatné políčka. Skúste niektoré vyjadriť viacerými spôsobmi.

Úloha 4

Pozrite sa na obvodové uhly nad úsečkou $AB$ a pomocou nich skúste určiť ďalšie.

Úloha 5

Využite AG nerovnosť pre dve čísla $$(a+b)\ge 2\sqrt{ab}.$$

Úloha 6

Pre párne je to EASY symetria. Pre nepárne nájdite invariant, na stratégii nezáleží.

Úloha 7

Za $a$, $b$, $c$, $d$ dosaďte hodnoty $x$, $\frac{1}{x}$ a $x$, $y$, $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$ v rôznom poradí.

Úloha 8

Uvedomte si, že kružnica opísaná $\bigtriangleup PHD$ prechádza aj priesečníkom $X$ kružnice $k$ s priamkou $BO$. $DPQX$ je obdĺžnik.

Úloha 9

Uvažujte $n$ iba ako mocninu prvočísla.

Úloha 10

Možno použiť najviac $2(2^{2n} -1)/3 + 2^{n+1} + 1$ čiernych dlaždíc. Pri konštrukcii zoberte čierne políčka ako na šachovnici plus ešte ďalšie zo zvyšných políčok s využitím konštrukcie pre $n - 1$. Pre horný odhad si reprezentujte námestie ako graf a využite, že ak graf neobsahuje cyklus, má menej hrán ako vrcholov.