Po dlhom týždni plnom ťažkých brigád sa vedúci konečne stretli, aby si spočítali, koľko vlastne zarobili. Zistili však, že daňový systém je plný podivných zaokrúhľovaní nadol a ich výplaty vyzerajú úplne inak, ako čakali. Začali sa hádať, či je výhodnejšie peniaze počítať jedným alebo druhým spôsobom, až kým nezistili, že účtovníctvo ich zamestnávateľov predsa len dáva zmysel.

Dokážte, že pre kladné celé $n>1$ platí:

$$\lfloor n^{\frac{1}{2}} \rfloor + \lfloor n^{\frac{1}{3}} \rfloor + \dots + \lfloor n^{\frac{1}{n}} \rfloor = \lfloor \log_2{n} \rfloor + \lfloor \log_3{n} \rfloor + \dots + \lfloor \log_n{n} \rfloor$$

Kde $\lfloor n \rfloor$ značí zaokrúhlenie na najväčšie celé číslo, ktoré nie je väčšie ako $n$.